Hyperbolické a hyperbolometrické funkce
J. Nečas
Abstract. Relatively easy expression of hyperbolic and hyperbolometric functions by exponential function and logarithm (as part of the analysis of a real variable) causes, that these functions not a subject of the special attention. This article introduces some interesting analogies among these functions. It remains in a scope of a real variable, but prepares the ground for introducing a complex analysis.
Keywords. Goniometric function, cyclometric function, hyberbolic function, hyperbolometric function, calculation of integrals
Poměrně snadné vyjádření hyperbolických a hyperbolometrických funkcí pomocí exponenciály , resp. logaritmu (v rámci analýzy reálné proměnné) způsobuje, že se těmto funkcím nevěnuje zvláštní pozornost, čímž je výuka základů matematické analýzy ochucena o různé zajímavé analogie a studentům je tak v této oblasti ztíženo vnímat krásu matematiky. Tento článek se některým opomíjeným vztahům věnuje, a ač zůstává v oboru reálné proměnné, svým způsobem připravuje půdu pro úvod do komplexní analýzy.
0. Sudá a lichá komponenta funkce
Nechť f je funkce, jejíž definiční obor je symetrický kolem nuly. Pak definujeme funkce fS a fL:
(0.1) fS(x)= (f(x) + f(-x))/2
(0.2) fL(x)= (f(x) - f(-x))/2
Zřejmě platí
(0.3) fS(x)= fS(x) + fL(x)
Funkce fS a fL nazveme po řadě sudou a lichou komponentou funkce f. Sudá, resp. lichá komponenta funkce je vždy sudou, resp. lichou funkcí.
Připomeňme, že pokud k dané liché funkci existuje funkce inverzní, tak je lichá. K sudé funkci s nedegenerovaným definičním oborem 𝒟 inverzní funkce neexistuje; abychom ji mohli definovat, omezujeme definiční obor na podmnožinu průniku 𝒟 ⋂ ℛ+.
Poznámka. Symbolem ℛ, resp. ℛ+, resp. ℛ- budeme značit množinu všech reálných, resp. reálných nezáporných čísel, resp. reálných nekladných. Průnik, sjednocení a rozdíl množin budeme značit po řadě ⋂, ⋃ , -.
1. Hyperbolické funkce
Hyperbolické funkce jsou funkce hyperbolický sinus sh x, hyperbolický kosinus ch x, hyperbolický tangens th x a hyperbolický kotangens[1] cth x , které jsou definovány takto[2]:
(1.1) sh x = expL x (x ∈ ℛ ),
(1.2) ch x = expS x (x ∈ ℛ ),
(1.3) th x = sh x / ch x (x ∈ ℛ ),
(1.4) cth x = ch x / sh x (x ∈ ℛ - {0} ).
Někdy se definují i funkce hyperbolický sekans a kosekans jako převrácené hodnoty po řadě k hyperbolickému kosinu a sinu; jimi se zde zabývat nebudeme; je to v souladu s běžnou praxí u goniometrických funkcí, kde se dnes funkce sekans a kosekans už téměř nepoužívají.
Funkce hyperbolický sinus je lichá; je na celém svém definičním oboru ℛ prostá a rostoucí; jejím oborem hodnot je celá množina ℛ .
Funkce hyperbolický kosinus je sudá; na svém definičním oboru ℛ tedy není prostá (je však prostá na ℛ+, kde je rostoucí, i na ℛ-, kde je klesající) a jejím oborem hodnot je interval ⟨1, +∞ ).
Funkce hyperbolický tangens je lichá; je na celém svém definičním oboru ℛ prostá a rostoucí; jejím oborem hodnot je interval (-1, 1).
Funkce hyperbolický kotangens je lichá; je na celém svém definičním oboru ℛ - {0} prostá a na každém jeho podintervalu klesající; jejím oborem hodnot je množina ℛ - ⟨-1, 1⟩ .
2. Hyperbolometrické funkce
Hyperbolometrické funkce jsou funkce argumentsinus hyperbolický ash, argumentkosinus hyperbolický ach, argumenttangens hyperbolický ath a argumentkotangens hyperbolický acth. Funkci ach definujme jako inverzní funkci k funkci ch omezené na množinu ℛ+, funkce ash, ath, acth jako inverzní funkce po řadě k funcím sh, th, cth na celém jejich definičním oboru.
Definiční obory hyperbolometrických funkcí ash, ach, ath, acth splývají s obory hodnot příslušných hyperbolických funkcí, a tedy jsou po řadě ℛ , ⟨1, +∞), (-1, 1), (-∞ , -1) ⋃ (1 +∞). Obory hodnot hyperbolometrických funkcí ash, ach, ath, acth jsou po řadě ℛ, ℛ+, ℛ,
ℛ - {0}.
Hyperbolometrické funkce lze vyjádřit pomocí logaritmu:
(2.1) ash x = ln (x + √ (x2 + 1))
(2.2) ach x = ln (x + √ (x2 - 1))
(2.3) ath x = ln √ ((1 + x)/(1 - x))
(2.4) acth x = ln √ ((x + 1)/(x - 1))
Připomeňme, že funkce ash, ath a acth jsou liché, i když to z jejich analytického vyjádření není na první pohled patrné. Definiční obor funkce ach není symetrický kolem nuly.
3. Součtové vzorce pro hyperbolické funkce
V tomto oddíle se omezíme na funkce sh a ch.
Součtové vzorce pro hyperbolické funkce jsou analogické součtovým vzorcům pro goniometrické funkce. Jejich odvození (popř. důkazy) jsou snadná z definice.
(3.0) ch2 x - sh2 x = 1
(3.1) sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y
(3.2) ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y
(3.3) sh (2x) = 2 sh x ch x
(3.4) ch (2x) = ch2 x + sh2 x
Ze vztahů (3.0) a (3.4) lze snadno odvodit vyjádření druhých mocnin funkcí sh a ch:
(3.5) ch2 x = (ch (2x) + 1)/2
(3.6) sh2 x = (ch (2x) - 1)/2
4. Derivace hyperbolických funkcí
Uvnitř definičních oborů funkcí platí
(4.1) (sh x)' = ch x
(4.2) (ch x)' = sh x
(4.3) (th x)' = 1 / ch2 x
(4.4) (cth x)' = -1 / sh2 x
5. Derivace hyperbolometrických funkcí
Vzorce pro derivace hyperbolometrických funkcí lze snadno odvodit ze vztahů (2.1) až (2.4), avšak stojí za to k nim dojít použitím věty o derivaci inverzní funkce (úvodní kurzy matematické analýzy poskytují celkem málo příležitostí pro její použití).
Uvnitř definičních oborů funkcí platí
(5.1) (ash x)' = 1/√ (x2 + 1)
(5.2) (ach x)' = 1/√ (x2 - 1)
(5.3) (ath x )'= 1/(1 - x2)
(5.4) (acth x)' = 1/(1 - x2)
Na pravých stran ve vzorcích pro derivace funkcí ath a acth může je sice tentýž výraz, ovšem definiční obory funkcí ath a acth jsou disjunktní. Ve všech bodech definičních oborů platí
(5.5) (ath x)' > 0
(5.6) (acth x)' < 0
Poznamenejme, že obdobné nerovnosti platí pro cyklometrické funkce arctg a arcotg (jejich definičním oborem je ovšem celá množina ℛ).
6. Primitivní funkce k hyperbolickým funkcím
Ze vztahů (4.2) a (4.1) okamžitě plyne:
(6.1) ∫ sh x dx = ch x + C
(6.2) ∫ ch x dx = sh x + C
Ze vztahu (1.3), resp. (1.4) použitím substituce t = ch x, resp. t = sh x dostaneme
(6.3) ∫ th x dx = ln ch x + C
(6.4) ∫ cth x dx = ln |sh x| + C
Na pravé straně ve výrazu (6.3) není použita absolutní hodnota, neboť v celém definičním oboru funkce ch platí ch(x) > 0
7. Primitivní funkce k cyklometrickým funkcím
Poněvadž cílem tohoto článku je ukázat na obdobné rysy goniometrických a hyperbolických, resp. cyklometrických a hyperbolometrických funkcí a znalost primitivních funkcí k cyklometrickým funkcím nelze u základního kursu matematické analýzy předpokládat, uveďme zde jejich přehled
(7.1) ∫ arctg x dx = x.arctg x - ln √(1 + x2) + C
(7.2) ∫ arccotg x dx = x.arccotg x + ln √(1 + x2) + C
(7.3) ∫ arcsin x dx = x arcsin x + √(1 - x2) + C
(7.4) ∫ arccos x dx = x arccos x - √(1 - x2) + C
8. Primitivní funkce k hyperbolometrickým funkcím
(8.1) ∫ ath x dx = x.ath x + ln √(1 - x2) + C
(8.2) ∫ acth x dx = x.ath x - ln √(x2 - 1) + C
(8.3) ∫ ash x dx = x ash x - √(1 + x2) + C
(8.4) ∫ ach x dx = x ach x - √(x2 - 1) + C
Analogie skupiny vzorců (7.1) až (7.4) se skupinou (8.1) až (8.4) je patrná na první pohled. Vzorce (7.1) až (7.4) lze odvodit integrací per partes, přičemž jedním faktorem v integrované funkci je 1.
9. Výpočet primitivní funkce: hyperbolická substituce
Při výpočtu primitivní funkce k funkcím, v nichž se vyskytuje podvýraz √(a2 - x2), se často uplatňuje goniometrická substituce x = a sin z (popř. s ní rovnocenná substituce x = a cos z). Obdobně při výpočtu primitivní funkce k funkcím, v nichž se vyskytuje podvýraz √(a2 + x2), resp. √(x2 - a2), bývá užitečná substituce x = a sh z, resp. x = a ch z.
Uvedené podvýrazy lze jednoduchou lineární substitucí převést na obdobné výrazy, v nichž a = 1.
Než ukážeme použití těchto substitucí na dvou základních příkladech, připomeňme, že pomocí goniometrické substituce x = a sin z lze snadno vypočítat
(9.0) ∫ √(1 - x2) dx = [x √(1 - x2) + arcsin x]/2
Příklad 1.
Počítejme
(9.1) ∫ √(1 + x2) dx
Substituce: x = sh z. Pak √(1 + x2) = ch x. Protože (sh x)' = ch x, budeme za dx psát ch z dz. Integrál (9.1) jsme tak převedli na
(9.2) ∫ ch2 z dz.
Podle (3.5) je ch2 z = (ch (2z) + 1)/2, a tedy (s využitím (3.3))
(9.3) ∫ ch2 z dz = sh (2z)/4 + z/2 = sh z ch z / 2 + z/2 + C
Nyní je třeba udělat zpětnou substituci: sh z = x, ch z = √(1 + x2),
z = ash x. Vypočítali jsme tak, že
(9.4) ∫ √(1 + x2) dx = [x √(1 + x2) + ash x]/2.
Výsledek je analogický k výsledku integrálu v (9.0).
S použitím vztahu (2.1) odtud dojdeme k vyjádření používanému v příručkách nevyužívajících hyperbolometrické funkce:
∫ √(1 + x2) dx = [x √(1 + x2) + ln (x + √ (x2 + 1)]/2.
Příklad 2.
Počítejme nyní integrál
(9.5) ∫ √ (x2 - 1) dx
Substituce: x = ch z. Pak √(x2 - 1) = sh x. Za dx budeme psát sh z dz. Integrál (9.5) jsme tak převedli na
(9.6) ∫ sh2 z dz
Podle (3.6) je sh2 z = (ch (2z) - 1)/2, a tedy (s využitím (3.3))
(9.7) ∫ sh2 z dz = sh (2z)/4 - z/2 = sh z ch z / 2 - z/2 + C .
Nyní je třeba udělat zpětnou substituci: ch z = x, sh z = √ (x2 - 1),
z = ach x. Vypočítali jsme tak, že
(9.8) ∫ √ (x2 - 1) = [x √ (x2 - 1) - ach x]/2 + C.
I zde je patrná analogie s (9.0). S použitím vztahu (2.2) odtud dojdeme k vyjádření používanému v příručkách nevyužívajících hyperbolometrické funkce:
∫ √ (x2 - 1) = [x √ (x2 - 1) - ln (x - √(x2 - 1))]/2 + C.
10. Závěr
Je škoda, že ve studijních plánech základů matematické analýzy hyperbolické a hyperbolometrické funkce zpravidla chybějí. Jistě, lze se bez nich obejít. Nicméně vnímání jejich obdoby s funkcemi goniometrickými a cyklometrickými přispívá k prožívání vnitřní krásy matematiky a tedy i k rozvíjení matematického myšlení a matematického vnímání světa, a je i dobrou průpravou pro vstup do světa funkcí komplexní proměnné. Mohou přispět k tomu, aby se další lidé připojovali k vyznání Josipa Plemelje "Matematika je mi životní potřebou a uměleckým prožitkem" [1]. A pokud jde o matematickou praxi, hyperbolické a hyperbolometrické substituce se vhodně uplatňují při výpočtu některých primitivních funkcí.
Literatura
[1] NEČAS, J. Životní potřeba a umělecký požitek. MS 21, 2013.
RNDr. Jiří Nečas
Department of Mathematics
University of Economics
Ekonomická 957
148 00 Prague 4
e-mail: necas@vse.cz
Květen 2013; poslední úprava 02/08/2018 (okraje při zobrazení 05/03/2024)
Určeno pro Mundus Symbolicus 2018