Několik zastavení u trojúhelníka
1. Symetrické funkce stran trojúhelníka
Obvod Q je zcela zřejmě symetrickou funkcí stran:
Q = a + b + c
Obsah P je také symetrickou funkcí stran. Je to patrné např. z Heronova vzorce, který však není všeobecně známý. Běžně se uvádí vztah P = a.va / 2; výšku na stranu a ovšemůžeme vyjádřit pomocí strany a sinu přilehlého úhlu, va = b. sin γ, tedy
P = a.b.sin γ / 2
Odtud:
4P2 = a2.b2. sin2 γ = a2.b2.(1 – cos2 γ) (A)
Kosinus γ vyjádříme pomocí kosinové věty:
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos γ
Tedy
cos γ = (a2 + b2 – c2)/(2.a.b)
Dosadíme do (A):
4P2 = a2.b2. sin2 γ = a2.b2.(1 – (a2 + b2 – c2)2/(2.a.b)2) =
= a2.b2.((4a2.b2 – (a2 + b2 – c2)2 )/(4a2.b2) =
= (1/4).(4a2.b2 – a4 – b4 – c4 – 2a2.b2 + 2a2.c2 + 2.b2.c2) =
= ( – a4 – b4 – c4 + 2a2.b2 + 2a2.c2 + 2.b2.c2) / 4
= (a + b + c). (a + b – c). (a – b + c). (–a + b + c) / 4,
tedy
P = √((a + b + c).(a + b – c).(a – b + c).(–a + b + c))/ 4
To je jen poněkud netradičně zapsaný Heronův vzorec (nezavádím symbol s pro poloviční obvod).
Obsah P jsme vyjádřili jako symetrickou (iracionální) funkci stran.
Poloměr kružnice opsané:
Z věty o obvodovém a středovém úhlu plyne
r = c / (2.sin γ) (B)
K určení r tedy stačí dva údaje – strana a protilehlý úhel
Vyjádříme r jako symetrickou funkci stran; využijeme toho, že obsah trojúhelníka je symetrickou funkcí stran:
P = a.b.sin γ / 2,
odtud
sin γ = 2P / (a.b)
Za sinus dosadíme do (B) a dostaneme vyjádření poloměru r jako symetrické funkce stran:
r = a.b.c / (4P)
Poloměr kružnice vepsané:
Označme M střed kružnice vepsané. Jeho spojnice s vrcholy trojúhelníka rozdělí jeho obsah na tři trojúhelníky se základnami po řadě a, b, c; všechny mají touž výšku ρ, tedy P = (a + b + c).ρ / 2. Pro ρ tak dostáváme vyjádření
ρ = 2.P / (a + b + c),
které je symetrické v délkách stran .
Kritéria "pravidelnosti" trojúhelníka:
A) r/ρ ∈ ⟨2; ∞).
r/ρ = (sin α + sin β + sin γ) / (2.sin α . sin β . sin γ)
Pro rovnostranný trojúhelník je
r/ρ = 2.
B) r.ρ/P = 2r/Q ∈ ⟨κ, ∞ ), kde κ = 2√3/9 ≈ 0,385.
Platí:
r.ρ / P = 2r/Q = 1/(sin α + sin β + sin γ),
pro rovnostranný trojúhelník je
r.ρ/P = κ.
Hodnota kritéria roste nade všechny meze v tupoúhlém trojúhelníku, pokud se tupý úhel blíží 180° (všechny tři sčítance ve jmenovateli se v tomto případě blíží nule).
C) Q/ρ ∈ ⟨χ, ∞), kde χ = 6.√3.
Q/ρ = (sin α + sin β + sin γ)2 / (sin α . sin β . sin γ)
Pro rovnostranný trojúhelník je
Q/ρ = χ
Všechna kritéria A až C jsou symetrickými funkcemi sinů úhlů.
D) jako čtvrté možné kritérium uveďme relativní rozptyl úhlů
D = (α/60 – 1)2 + (β/60 – 1)2 + (γ/60 – 1)2 .
Pro rovnostranný trojůhelník je D = 0, pro ostatní D > 0.
Uvedená kritéria nabývají u "nejpravidelnějšího", tedy rovnostranného, trojúhelníka svého minima.
Trojúhelníky, v nichž se nevyskytují extrémě malé úhly či zas příliš velké úhly, se uspořádání podle uvedených kritérií celkem shoduje. Dá se říci, že kritéria B a D hodnotí jako větší narušení pravidelnosti jeden hodně velký tupý úhel, A a C zas jeden výrazně malý úhel.
2. Rovnoramenný trojúhelník
Nechť a, b jsou ramena a c základna, α a β úhly mezi rameny a základnou, γ hlavní vrcholový úhel. Tedy a = b, α = β. K označování velikostí tedy b a α nebudeme používat. K popisu rovnoramenného trojúhelníka budeme dvojici z údajů používat a, c, γ, případně a, c, β . Mezi γ a β platí ovšem jednoduchý vztah
2.β + γ = 180°.
Platí:
γ ∈ (0, 180o), β ∈ (0, 90o), c < 2a
Důsledkem poslední nerovnosti je, že pokud se a blíží k nule, blíží se k nule i c. Podobně roste-li c nade všechny meze, roste nade všechny meze i a. Je ovšem možné, aby při konstantním a se c blížilo k nule, resp. při konstantním c rostlo a nade všechny meze.
Platí:
c = 2 a sin (γ/2) = √2 . a √(1 – cos γ) = 2 a cos β
a = c / (2 sin (γ/2)) = c / (2 cos β),
a tedy
sin (γ / 2) = cos β = c / (2a)
γ = 2.arcsin (c / (2a))
Funkce argumentů a, γ nebo β
P = a2 sin γ / 2 = a2 sin β cos β
Q = 2 a (1 + sin (γ/2))
r = a sin (γ/2) / sin γ = a / (2 sin β)
ρ = a sin γ / (2 (1 + sin (γ/2))) = a . cos β / (1 + cos β)
Položme a = 1 a dívejme se na P, Q, r a ρ jako na funkce argumentu γ. Q a r jsou rostoucími funkcemi argumentu γ, P je maximální pro γ = 90o, Pmax = 0,5; existuje takový úhel α0, pro nějž je ρ maximální, α0 ∈ (76,2o; 76,5o), ρmax ≈ 0,3003; analytické vyjádření α0 není k dispozici.
Limitní hodnoty v krajních bodech definičního oboru jsou:
limγ→0° P = limγ→180° P = 0,
limγ→0° Q = 2, limγ→180° Q = 4,
limγ→0° r = 0,5, limγ→180° r = ∞
limγ→0° ρ = limγ→180° ρ = 0.
Funkce argumentů c, γ nebo β
P = c2 sin γ / 8 sin2 (γ/2) = c2 cotg (γ/2) / 4 = (1/4) c2 tg β
Q = c (1 + cos β)/ cos β = c . (1 + cos-1 β)
r = c / (2.sin γ) = c / (4.sin β cos β )
ρ = c . (1 – cos β) / (2 sin β),
Položme nyní c = 2. P, Q a ρ jsou pak rostoucími funkcemi argumentu β (tedy klesajícími funkcemi argumentu γ) , r nabývá minima při γ = 90o (tj. β = 45o), rmin = 1. Limitní hodnoty jsou
limγ→0° P = ∞, limγ→180° P = 0,
limγ→0° Q = ∞, limγ→180° Q = 4,
limγ→0° r = ∞, limγ→180° r = ∞,
limγ→0° ρ = 1, limγ→180° ρ = 0,
Funkce argumentů a, c
P = c √(4a2 – c2)/4
Q = 2a + c
r = a2/√(4a2 – c2)
ρ = 2.P / (a + b + c) = c √(4a2 – c2)/(4a + 2c)
Postupně zafixujeme c a a. Nejdříve položme c = 2. Pak a ∈ (1; ∞). P, Q a ρ jsou pak rostoucími funkcemi argumentu a, r nabývá minima při a = √2 (jde o pravoúhlý trojůhelník), rmin = 1. Limity v krajních bodech definičního oboru pro argument a jsou:
lima→1 P = 0, lima→∞ P = ∞,
lima→1 Q = 4, lima→∞ Q = ∞,
lima→1 r = ∞, lima→∞ r = ∞,
lima→1 ρ = 0, lima→∞ ρ = 1.
Nyní položme a = 1. Pak c ∈ (0; 2). Veličiny Q a r jsou v tomto případě rostoucími funkcemi argumentu c, P nabývá maxima pro c = √2 (pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník), Pmax = 1/2, ρ nabývá maxima pro c ≈ 1,236 , ρmax ≈ 0,300 283. Limity v krajních bodech definičního oboru pro argument c jsou:
limc→0 P = 0, limc→2 P = 0,
limc→0 Q = 2, limc→2 Q = 4,
limc→0 r = 0,5, limc→2 r = ∞,
limc→0 ρ = 0, limc→2 ρ = 0.
3. Úsečka VS v rovnoramenném trojúhelníku
Připomeňme, že V používáme k označení průsečíku výšek, S pro střed kružnice opsané a T pro těžiště. V každém[1] trojúhelníku leží průsečík výšek na úsečce VS, přičemž VT = 2.TS.
Zůstaňme u rovnoramenných trojúhelníků. Uvažujme rovnoramenný trojúhelník v kartézské soustavě souřadnic tak, že jeho osa souměrnosti splývá s osou y. Hlavní vrchol označme C, C = [0; v], vedlejší vrcholy A, B, A = [-c/2; 0], B = [c/2; 0]; platí v = √(a2 – c2/4), a tedy a = b = √(v2 + c2/4).
Body V, T, S leží na ose y,
V = [xV, yV] = [0, c2/(4v)]
T = [xT, yT] = [0, v/3]
S = [xS, yS] =[0, v/2 – c2/(8v)]
Pro dvojice bodů M, N, které leží na ose y, označme
λ (M, N) = yM – yN
Absolutní hodnota |λ (M, N)| vyjadřuje délku úsečky MN, hodnota λ(M, N) je kladná, právě když yM > yN, tj. právě když bod M leží nad bodem N. Platí:
Platí: λ(V, T) = (3c2 – 4v2)/(12v)
λ(T, S) = (3c2 – 4v2)/(24v)
λ(V, S) = (3c2 – 4v2)/(8v)
Z těchto vyjádření hodnot λ je vidět, že platí
λ(V, T) = 2 λ(T, S),
λ(V, S) = 3 λ(T, S)
Dále se zabývejme jen hodnotou u = λ(V, S). Budeme hledat její vyjádření pomocí jedné z dvojic údajů
a) a, c,
b) a, β ,
c) c, β,
přičemž víme, že velikost úhlu γ je klesající lineární funkcí velikosti úhlu β,
γ = 180° – 2.β;
přechod mezi vyjádřeními pomocí β a pomocí γ je tedy triviální záležitostí.
a) u = (c2 – a2)/√(4a2 – c2 )
Pro konstantní a je to rostoucí funkce argumentu c (c ∈ (0; 2a)), pro konstantní c pak klesající funkce argumentu a (a ∈ (0; ∞)), obor hodnot v prvním případě je interval (-0,5.a; ∞), v druhém množina ℛ všech reálných čísel. Platí u < 0, resp. u = 0, resp. u > 0, právě když c < a, resp. c = a, resp. c > a.
b) λ(V, S) = a.(3 – 4.sin2 β) /(2.sin β)
Pro konstantní a je to rostoucí funkce argumentu γ (γ ∈ (0; 180°)) s oborem hodnot (-0,5.a; ∞). Platí u < 0, resp. u = 0, resp. u > 0, právě když β > 60° , resp. β = 60°, resp. β < 60°.
c) λ(V, S) = c.(3 – 4.sin2 β) / (2.sin (2β))
Pro konstantní c je to rovněž rostoucí funkce argumentu γ (γ ∈ (0; 180°)), jejímž oborem hodnot je množina ℛ všech reálných čísel. I zde platí λ(V, S) < 0, resp. λ(V, S) = 0, resp. λ(V, S) > 0, právě když γ < 60° , resp. γ = 60°, resp. γ > 60°.
Praha 14.02.2023 – 9.02.2024
[1] Nevylučujeme úsečku zredukovanou na jeden bod; v rovnostranném trojúhelníku je V = T = S. V ostatních trojúhelnících jsou V, T a S tři různé body.