Rybníček Kaprníček
Růst a jeho meze
Zkrácená verse
Rád vás vítám v pohádkovém lese ([3], [4], [5]) a věřím, že se už těšíte na setkání s krásnou a sympatickou princeznou Alguelitou[1] i s vílami a kovílasy[2]. Kdo není v našem pohádkovém lese ponejprv, už ví, že krásná a vzdělaná Alguelita, matematicky erudovaná zooložka a ekoložka, se svým tradičním pohádkovým kolegyním - princeznám podobá svými krásnými dlouhými kaštanovými vlasy, velkýma dobro vyzařujícíma očima, milým úsměvem, cudností a skromností, avšak odmítá nepraktické princeznovské šaty a nosívá vždy kalhoty, k nim zpravidla tričko, tentokrát měla zas své oblíbené hnědé džíny a zelené tričko se základními rovnicemi termodynamiky, kvantové mechaniky a speciální teorie relativity (F = E - TS, E = mc2, E = hf). Je svým založením intelektuálka, velice inteligentní a velice laskavá.
A jako já coby autor vítám v pohádce vás, čtenáře, tak princezna Alguelita uvítala v pohádkovém lese skupinu poznáníchtivých studentů kvarty z nejbližšího osmiletého gymnázia, aby byli svědky počátku historie pohádkolesního rybníčku Kaprníčku. (V pohádce to jde, aby se rybníček najednou objevil.) A přivítala i své blízké přátele vílu Eskřivku a kovílase Pomalíka.
Dětem se svěřila se záměrem oživit rybníček Kaprníček rybami. Ty hned přišly s nápadem, že by to měly být zlaté rybky. Alguelita si vážila jejich iniciativy, nicméně zlaté rybičky v Kaprníčku se jí nezamlouvaly. Ony sice stejně nejsou zlaté, nýbrž červené (což je ovšem klamání veřejnosti), ale hlavně nechtěla, aby cokoli v pohádkovém lese připomínalo pošetilou lidskou honbu za materiálním bohatstvím, jedním z jehož symbolů je zlato, a s ním i přídavné jméno "zlatý". A tak, jak už i jméno rybníčka naznačuje, bude patřit především kapříkům. Na začátku tam několik párů nasadila a v duchu jim slíbila co nejlepší podmínky, aby se jim tam dobře vedlo a spokojeně se rozmnožovali.
Jak se bude množství kapříků při rozmnožování měnit? Přirozeně, čím více kapříků tam bude, tím více bude mezi nimi potenciálních rybích maminek a tatíků, a tedy tím více jich za jednotku času přibude. Alguelita dětem řekla, že tuto závislost můžeme vyjádřit diferenciální rovnicí, vyjadřující přímou úměrnost mezi přírůstkem kapříků a jejich množstvím; jejím vyřešením dojdeme k závěru, že počet rybiček exponenciálně poroste. Konstanta přímé úměrnosti vyjadřuje fertilitu; čím rychleji se rybičky budou množit, tím větší konstanta bude.
Nedůvěřivé Markétě Moudré se to moc nelíbilo a ozvala se: "Vždyť ale množství kapříků tak poroste nade všechny meze! Odněkdy se kapříci do rybníčka nevejdou!"
Alguelita poznamenala, že v pohádce by sice rybníček mohl růst podle potřeby kapříků, nicméně tím by se pohádka zpronevěřila svému poslání ukázat lidem svět sice jiný, než ten jejich, ale takový, který by je motivoval k žádoucí změně způsobu života, myšlení a jednání. A k tomu potřebujeme nezvětšující se rybníček. Oni ti lidé na tom svém omezeném světě si počínají tak, jako by se zvětšoval úměrně jejich náročnosti. Neberou v úvahu zákony přírody. V pohádce nesmíme tuto jejich hloupost podporovat. Vážíme si přírody - se všemi jejími zákony. - Markétina námitka tím ovšem nebyla vyřešena.
V myslích dětí se rodil nápad, co kdyby se tedy pro potřeby pohádky vymyslel jiný, třeba méně přirozený, zákon rozmnožování kapříků, ale takový, že by respektoval konečnost Kaprníčku.
A to už tu byl připraven kovílas Pomalík, který dětem předložil nápad, co kdyby se pro potřeby pohádkového lesa kapřící rozmnožovali pomocí zpomalené růstové rovnice, jejich přírůstek by byl úměrný nikoli jejich množství, nýbrž jeho druhé odmocnině, takže by se růst zpomaloval. Po chvíli hovoru o tom, jak by takový růstový zákon fungoval, příslušnou rovnici vyřešil. A ukázalo se, že by množství kapříků opět rostlo nade všechny meze, i když ne exponenciálně, nýbrž jen kvadraticky.
Kovílas Pomalík se usmál a řekl, dobrá, nechť tedy přírůstek je konstantní, samozřejmě kladný. Tu se Vědomil Čísílko, který měl už prostudovány úvodní učebnice diferenciálního a integrálního počtu, neudržel a zvolal: "Vždyť tohle je triviální úloha na výpočet integrálu! Množství kapříků tentokrát poroste lineárně." K tomu Markéta Moudrá smutně dodala: "Ani takhle to tedy také nepůjde. Vždyť i lineární funkce roste nade všechny meze, a tak jednou by byl kapříkům rybníček malý!"
Pomalík se usmál pod fousy a navrhl, že by přírůstek kapříků mohl s jejich množstvím klesat, třeba tak, že by byl nepřímo úměrný jejich množství. Když příslušnou diferenciální rovnici vyřešil, sdělil na řešení čekajícím dětem, že množství kapříků bude tentokrát přímo úměrné odmocnině z času.
Markétu Moudrou tentokrát s vyjádřením zklamání předběhla Vědunka Rybníčková: "Ale ona druhá odmocnina také roste nade všechny meze, i když ještě pomaleji než ta předchozí lineární funkce. Má to vůbec naději?"
Ano, mají kapříci vůbec nějakou naději na trvale udržitelný život v Kaprníčku? Alguelita viděla dětem na tvářích, že jim tato otázka leží v jejich myslích, dosud nezatížených deformovanou ekonomikou. Protože se těšila, jak na závěr něco zajímavého poví a nechtěla mít dlouhý monolog, dala slovo víle Eskřivce.
Ta mysli svých milých posluchačů vrátila k první rovnici, vyjadřující onen velmi přirozený předpoklad, že přírůstek kapříků je přímo úměrný jejich množství. A dodala, že dokud je v rybníčku místa dost, tak nám rovnice funguje. Ale jakmile se jejich množství začne přibližovat jakési nepřekročitelné hranici (říkáme jí supremum), tak se v důsledku měnících se podmínek fertilita rybiček bude zmenšovat. Jednoduše to matematicky můžeme modelovat tak, že konstantu úměrnosti mezi přírůstkem a množstvím nahradíme jakýmsi koeficientem, který se zpočátku od ní téměř nebude lišit, ale jak se množství kapříků bude blížit supremu, koeficient se bude zmenšovat a blížit se k nule. Vývoj množství kapříků bude nyní popisovat tzv. logistická funkce, jejímž grafem je tzv. logistická křivka. Takový vývoj množství kapříků možný je, množství je a zůstává omezené.
Vědunka Rybníčková se však rozhodně uspokojeně netvářila. Poprosila o slovo a připomněla, že k logistické funkci dospěli z předpokladu, že fertilita kapříků s ubýváním životního prostoru klesá, což však znamená, že se jim už nepovede tak dobře jako na začátku, že se jim životní podmínky zhorší. Alguelita Vědunku pochválila za velice moudrou myšlenku a ujala se slova:
"Život bez změny není možný, a k tomu jsme jak vy lidé z reálného světa, tak i my z pohádky vybaveni schopností myslet, aby vše nebylo ponecháno náhodě. Kapříkům od určité zaplněnosti rybníčka bude těsno. Jestliže jim rybáři tím, že některé vyloví, pomohou zachovat životní prostor, prospějí tím kapří populaci, či jí ublíží? Snad se shodneme na tom, že prospějí, samozřejmě za předpokladu, že si počínají citlivě a uvážlivě. Takové vnější zásahy jsou oprávněné, pokud přírodě pomohou; rozhodně jí nesmějí ublížit. A když si lidé na takovém kapříkovi pochutnají - to není nic špatného. Ale pamatujte, přírodě se nesmí ubližovat. Člověk má přírodě sloužit k dobrému, svým způsobem dotvářet krásné Stvořitelovo dílo. Kdo se zabývá krajinou, tak o důležitosti spolupráce člověka a přírody nepochybuje.
Vraťme se však ke kapříkům. Ti ulovení mohou mít jiný názor, než jaký je názor celku či vnějšího pozorovatele. Být kořistí, byť takového speciálního predátora, jakým je člověk, asi žádná radost není. - Teď si samozřejmě můžeme položit otázku, zda vůbec kapříci mohou mít názor či prožívat radost. Nechám ji nezodpovězenou. Problém s prostorem, který mají kapříci v Kaprničku, totiž máte i vy lidé na krásné a bohaté planetě Zemi. Přibývá vás, i když se to netýká všech národů. Jenže národy, které se nijak výrazně nerozmnožují, tak zas spotřebovávají stále více z bohatství, které je určeno všem, a nejen v současnosti, nýbrž i v budoucnosti. A tak svým způsobem všichni se podílíte na tom, že Země je stále těsnější a těsnější.
Neomezený růst není možný. Blízko mezní hodnoty by asi život moc radostný nebyl. Co s tím? On by to neměl zas být takový problém, jen umět použít rozum. Lidé o mezích vědí. A také vědí, že jedni druhé potřebují, že jsou navzájem na sobě závislí. Krásně to vyjadřuje název zprávy, kterou v poslední šestině dvacátého století vydala se svými spolupracovníky tehdejší norská ministerská předsedkyně Gro Harlem Brundtlandová: Naše společná budoucnost. Budoucnost není v konkurenci, nýbrž ve spolupráci. Budoucnost není v kontraproduktivním sobectví, nýbrž je ve schopnosti sdílet s druhými dobré i zlé. Budoucnost není v penězích, nýbrž je ve schopnosti umět se radovat - z druhých lidí, z přírody, ze zázraku života.
Je nám zde spolu dobře - aspoň pevně doufám, že jste rády u našeho Kaprníčku se mnou, s vílami i s kovílasem. Jsme spolu, povídáme si, a vůbec nevadí, že k tomu nemáme žádnou hostinu. Hezký a smysluplný život není v tom hodně mít, nýbrž v tom být plně člověkem a své tělesné i duševní schopnosti užívat ve prospěch dobra. Angažovat se pro druhé lidi, angažovat se pro přírodu.
Lidské sobectví a honba za penězi zaclonily lidem pohled k pravým životním hodnotám. Zatemnily jim rozum se schopností řídit se poznatky o přírodě, připravily je o citlivost pro potřeby druhých lidí, pro přírodu, pro budoucnost světa a lidstva. Moc vám, milé děti, přeji, aby se vám rozjasnil výhled směrem k dobru, pravdě, lásce, spravedlnosti, směrem k plnosti života."
Vědunka Rybníčková krásné, moudré a vzdělané princezně Alguelitě, víle Eskřivce i kovílasu Pomalíkoví jménem všech dětí poděkovala a všechny přátele z pohádky ujistila, že se budou snažit do svého myšlení i konání promítat to, co se u Kaprníčku dověděly. A Alguelita poděkovala vílám a kovílasovi za spolupráci, dětem za aktivní pozornost a vyjádřila naději na další setkání. Rozloučili se naplněni všichni pocitem dobré pohody a radosti z příjemně a užitečně strávené chvíle.
Literatura
1. Brundtlandová, Gro Harlem: Naše společná budoucnost. Praha, Academia 1991 (Originál Our Common Future, 1987)
2. Nečas, J.: Hrnečku, vař aneb Separace proměnných v české pohádce. Mundus Symbolicus 16(2008).
3. Nečas, J.: Vlci a zajíci v pohádkovém lese. Envigogika 2009/IV/2 (Inspirace) - Mundus Symbolicus 17 (2009).
4. Nečas, J.: Princezna Alguelita a rozmanitost v přírodě. Envigogika 2011/VI/1 (Inspirace)
5. Nečas, J.: Jeskyně Třináctka. Mundus Symbolicus 19 (2011)
6. Nečas, J.: Exponenciální a logistický růst. Mundus Symbolicus 19 (2011).
7. Elizagaray, Alga Marina: Niňos, Autores y Libros. La Habana, Gente Nueva 1981.
Praha, březen 2012
(Psáno pro Envigogiku a Mundus Symbolicus)