Pythagorejské trojúhelníky

25.09.2023, 28.05.2024; v textu ještě může dojít k úpravám

Pythagorejským trojúhelníkem rozumíme pravoúhlý trojúhelník, jehož délky stran jsou celá čísla. Vzhledem k libovůli jednotek pro vyjádření délek stran je zajímavé se věnovat pythagorejským trojúhelníkům, jejichž délky stran a, b, c jsou nesoudělná celá čísla, tj. největší společný dělitel trojice čísel a, b, c je 1. Poznamenejme, že délky stran pythagorejského trojúhelníka jsou nesoudělné, právě když jsou nesoudělné délky libovolných dvou z nich.

Dále vždy a, b budou odvěsny pravoúhlého trojúhelníka a c jeho přepona. Z Pythagorejské rovnosti

a² + b² = c²

plyne, že mezi čísly a, b, c jsou buď všechna čísla sudá – pak by ovšem byla soudělná, nebo jedno sudé a dvě lichá . Ukážeme, že v tomto případě musí být sudým číslem délka jedné z odvěsen. Pokud by obě odvěsny byly lichá čísla a přepona sudé číslo, byla by její druhá mocnina dělitelná 4. Odvěsny bychom v tomto případě mohli vyjádřit a = 2u+1, b = 2v+1, pak

a² + b² = 4(u²+v²) + 4(u+v) + 2,

což není číslo dělitelné 4.

Budou nás tedy zajímat pythagorejské trojúhelníky s jednou sudou odvěsnou a zbývajícími stranami lichými. Lichou odvěsnu budeme značívat a, sudou pak b; pro přeponu použijeme c.

Poměrně zajímavým problémem je najít, jak projít všechny pythagorejské trojúhelníky, přičemž je vhodné zaměřit se jen na ty, jejichž délky stran jsou nesoudělné. Věta 1 ukazuje cestu, jak takové trojúhelníky hledat, věta 2 pak ukazuje, že metoda z věty 1 generuje všechny takové trojúhelníky.

Věta 1. Nechť r a s jsou lichá nesoudělná přirozená čísla, r > s. Nechť

a = rs

    b = (1/2)(r² – s²)

c = (1/2)(r² + s²)

Pak trojúhelník se stranami a, b, c je pythagorejský trojúhelník (tj. pravoúhlý trojúhelník, jehož všechny strany jsou vyjádřeny celými čísly) s odvěsnami a, b a přeponou c; čísla a a c jsou lichá, zatímco b je sudé číslo. Strany tohoto trojúhelníka jsou nesoudělná čísla.

Snadno lze ověřit, že platí:

    r = √(c + b),

    s = √(c – b).

Důkaz.

a² + b² = r²s² + (r⁴ – 2r²s² + s⁴)/4 =

     =  (r⁴ + 2r²s² + s⁴)/4 = c²

Číslo a je součinem dvou lichých čísel, a proto je liché.

Lichá čísla r a s vyjádřeme ve tvaru

r = 2m + 1, s = 2n + 1

Pak

b = (1/2)(r² – s²) = (1/2) (4(m² – n²) + 4(m – n)) =

           = 2(m² – n² + m – n)

c = (1/2)(r² + s²) = (1/2) (4(m² + n²) + 4(m + n) + 2) =

       = 2(m² – n² + m – n) + 1,

tedy b je sudé, kdežto c liché číslo

Ověříme sporem, že strany jsou nesoudělná čísla. Předpokládejme, že tomu tak není, tedy že existuje takové číslo d, že b = d.b', c = d.c'. Protože c je liché číslo, musí být i d liché. Můžeme předpokládat, že d je prvočíslo. Z vyjádření r a s pomocí b a c plyne

r² = d(b' + c'), s² = d(b' - c').

V prvočíselném rozkladu druhých mocnin se všechny prvočinitele vyskytují v sudých mocninách, a tedy ze soudělnosti stran b a c by plynula i soudělnost čísel r a s:

r² = d².r₁², s² = d².s₁².

Strany jsou tedy nesoudělné. ■

Věta 2. Nechť je dán pythagorejský trojúhelník, jehož délky stran jsou nesoudělné; nechť a je odvěsna mající lichou délku, b odvěsna mající sudou délku a c přepona. Pak čísla          

    r = √(c + b),

    s = √(c – b)

jsou celá, lichá a nesoudělná a platí

    a = rs

    b = (1/2)(r² – s²)

c = (1/2)(r² + s²).

Důkaz.

Pythagorejskou rovnost napišme ve tvaru

a² = c² – b² = (c + b)(c – b).

Činitelé vpravo v tomto vyjádření jsou lichá čísla a musejí být nesoudělná. Kdyby tomu tak nebylo, tedy kdyby

    c + b = du, c – b = d,(d > 1),

bylo by

c = d.(u+v)/2, b = d.(v-u)/2

(d, u, v jsou lichá čísla, a tedy u+v, v-u jsou sudá, a tak dělitelná 2); pak a = √((c–b)(c+b)) = √(du.dv) = d.√(u.v); a, b, c by pak nebyla trojice nesoudělných čísel. Každý z činitelů v součinu (c + b)(c – b) má tedy úplně jiné prvočinitele; protože součin je druhou mocninou přirozeného čísla, musejí být v každém z obou činitelů prvočinitele v sudé mocnině, a tedy jejich odmocniny jsou přirozená čísla. Z parity b a c  plyne, že r a s jsou čísla lichá.

Výrazy pro b a c se ověří dosazením, výraz pro a plyne z Pythagorejské rovnosti.  ■

Z věty 1 plyne, že pythagorejských trojúhelníků je nekonečně (spočetně) mnoho, i když připojujeme požadavek nesoudělnosti stran. Často se proto zabýváme jejich nějakou konečnou podmnožinou, např. s omezenou délkou přepony c. Z jejího vyjádření jako funkce parametrů r a s plyne

c ∈ (r²/2, r²).

Chceme-li např. najít všechny Pythagorejské trojúhelníky s nesoudělnými stranami a přeponou, jejíž délka nepřesahuje 100, stačí, omezíme-li se na takové hodnoty r, pro něž r²/2 < 100, tedy r < √200, což znamená r ≤ 13 (r musí být liché číslo). Všechny pythagorejské trojúhelníky s nesoudělnými stranami a hodnotou r ≤ 13 uvádí tabulka: Jednotlivé trojúhelníky jsou očíslovány podle rostoucích hodnot r a při stejné hodnotě r podle rostoucího s.

Příklady pythagorejských trojúhelníků:

	r	s	a	b	c
1	3	1	3	4	5
2	5	1	5	12	13
3	5	3	15	8	17
4	7	1	7	24	25
5	7	3	21	20	29
6	7	5	35	12	37
7	9	1	9	40	41
8	9	5	45	28	53
9	9	7	63	16	65
10	11	1	11	60	61
11	11	3	33	56	65
12	11	5	55	48	73
13	11	7	77	36	85
14	11	9	99	20	101
15	13	1	13	84	85
16	13	3	39	80	89
17	13	5	65	72	97
18	13	7	91	60	109
19	13	9	117	44	125
20	13	11	143	24	145

Mezi těmito 20 trojúhelníky musejí být všechny pythagorejské trojúhelníky s nesoudělnými stranami a přeponou kratší než 100. Je to následujících 16 trojúhelníků (v prvním sloupci je jejich pořadové číslo v této tabulce, uspořádané podle c, v druhém původní pořadové číslo při uspořádání podle r, s):

poř.	pův.č.	r	s	a	b	c
1	1	3	1	3	4	5
2	2	5	1	5	12	13
3	3	5	3	15	8	17
4	4	7	1	7	24	25
5	5	7	3	21	20	29
6	6	7	5	35	12	37
7	7	9	1	9	40	41
8	8	9	5	45	28	53
9	10	11	1	11	60	61
10	9	9	7	63	16	65
11	11	11	3	33	56	65
12	12	11	5	55	48	73
13	13	11	7	77	36	85
14	15	13	1	13	84	85
15	16	13	3	39	80	89
16	17	13	5	65	72	97

Stojí za to si všimnout, že délky přepon 65 a 85 mají dvě dvojice pythagorejských trojúhelníků.