Nekonečno v konečném světě

Jiří Nečas

       Matematika je užitečná, krásná a napínavá, až vzrušující. Kvůli nepěkné pověře, rozšířené v České zemi (a nejen tam) větší část populace bude souhlasit jen s prvním jejím atributem, a to pro její aplikace ve vědách, v technice a v ekonomice, aniž by ji přišlo na mysl to, co kdysi naformuloval poslední evropský polyhistor M.V. Lomonosov: "Matematiku už jen proto je nutné studovat, poněvadž ona rozum do pořádku dává". Hlavním cílem následujících řádků, které nejsou textem matematickým, nýbrž jen hovořícím o matematice, je přispět k boření oné ošklivé pověry.

       Ve starověkém Řecku, kolébce evropské vzdělanosti, tvořily matematiku čtyři obory: aritmetika, geometrie, astronomie a muzika. Zatímco první dva spolu s řadou dalších jsou součástí matematiky stále, astronomie se sice vydělila, avšak je považována za obor matematice blízký, "muzika" – hudební teorie se dostala úplně jinam; zákony harmonie vyjadřované pomocí poměrů čísel se dostaly na okraj jejího zájmu. My se budeme pohybovat převážně v okolí aritmetiky, nicméně – z úplně jiné strany – se dotkneme i hudby, či obecněji umění.

       Základním aritmetickým pojmem je přirozené číslo. To vyjadřuje počet prvků nějakého souboru, nějaké množiny. Názory na to, zda nulu řadit mezi přirozená čísla či nikoli, se různí; čtenáři – chce-li zůstat čtenářem - nezbude než aspoň na chvíli nulu za přirozené číslo považovat (autor to považuje za rozumné). Mezi přirozenými čísly existuje "přirozené" uspořádání O < 1 < 2 < ...; ke každému přirozenému číslu existuje číslo bezprostředně větší, počet přirozených čísel tedy nemůže být konečný – dostáváme se tak k ideji potenciálního nekonečna, nekonečna, které není najednou celé k dispozici, které však znamená, že odkudkoli lze jít o krok dále.

       Přirozená čísla vyjadřujeme pomocí pozičních číselných soustav, přičemž v široké praxi se používá prakticky výhradně soustava desítková, její rozšíření je dáno faktem, že normální člověk má na rukou deset prstů, a její stabilita (přetrvávání do doby, kdy se už na prstech nepočítává) je dána její projekcí do jazyka. V soustavě o základu 10 máme 10 číslic 0,1,2,...9, podobně ve dvojkové soustavě dvě číslice 0,1, v šestnáctkové soustavě potřebujeme 16 číslic – zde si pomáháme písmeny: 0,1,2,...,9,A,...,F. Zanedlouho použijeme soustavu o základu 256; tolik vhodných symbolů nemáme; její "číslice" bychom mohli zapisovat např. [0], [1], ..., [255].

       Praktická potřeba vedla k rozšíření množiny všech přirozených čísel; pracujeme s množinou všech celých čísel, s množinou všech racionálních čísel; jakmile mluvíme o všech přirozených, celých či racionálních číslech, opouštíme půdu potenciálního nekonečna a dostáváme se k aktuálnímu nekonečnu.

       Každé přirozené číslo je číslem celým, avšak existují celá čísla, která nejsou přirozená (jsou to záporná čísla). Každé celé číslo je číslem racionálním, avšak existují racionální čísla, která nejsou čísly celými (říkává se jim pravé zlomky). Chtělo by se říci, že celých čísel je více než čísel přirozených, že racionálních čísel je více než čísel celých. Co to však znamená "více" mezi nekonečny? Naznačený způsob porovnávání je možný jen tam, kde jedna množina je částí druhé. Na otázku, zda je více bodů na jednotkové úsečce nebo celých čísel už podobným způsobem žádnou odpověď najít nemůžeme. Německý matematik Georg Cantor přišel s myšlenkou na nekonečné množiny použít postup využívající přiřazování, jímž děti a příslušníci některých nám vzdálených civilizací nahrazují počítání při porovnávání konečných souborů. Dvě množiny považujeme za stejně "velké" – stejně mohutné, právě když existuje vzájemně jednoznačné přiřazení mezi jejich prvky. Množiny všech přirozených čísel, všech přirozených lichých čísel a všech celých čísel jsou stejně mohutné:

0,   1,   2,   3,   4,   5,   6,  ...

1,   3,   5,   7,   9,  11,  13,  ...

0,  -1,   1,  -2,   2,  -3,   3,  ...

Stejně mohutná je i množina všech racionálních čísel. To by mohlo svádět k myšlence, že všechny nekonečné množiny jsou stejně mohutné. Georg Cantor ukázal, že tomu tak není, že "známá" a v praxi hojně užívaná množina všech reálných čísel je mohutnější. A k reálným číslům teď obrátíme pozornost. Poznamenejme ještě, že nekonečné množiny stejně mohutné jako množina všech přirozených čísel se nazývají spočetné.

       Mezi racionálními čísly můžeme libovolná dvě čísla sčítat, odčítat, násobit a – pokud druhé z nich není nula – i dělit. Avšak racionální čísla nestačí, máme-li vyjádřit podíl délky úhlopříčky a délky strany ve čtverci či pětiúhelníku. Je tedy žádoucí v rozšiřování číselného oboru pokračovat.

       Uvažujme posloupnost racionálních čísel:

           1                          = 1

           1 – 1/2                    = 0.5

           1 – 1/2 + 1/4              = 0.75

           1 – 1/2 + 1/4 – 1/8        = 0.625

           1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 = 0.6875

           ....................................

Zde (n+1)-ní člen posloupnosti získáme z n-tého členu přičtením (-1/2)ⁿ. Když si znázorníme členy posloupnosti na číselné osy, vidíme, že se střídavě zprava zleva přibližují určitému "limitnímu" bodu. Většina čtenářů asi zná pojem nekonečné geometrické řady a tak ví, že tento bod odpovídá racionálnímu číslu 2/3 = 1/(1-(-1/2)).

       Obraťme nyní svou pozornost k podobně se chovající posloupnosti racionálních čísel:

           1                         = 1

           1 – 1/3                   = 0.66667

           1 – 1/3 + 1/5             = 0.86667

           1 – 1/3 + 1/5 – 1/7       = 0.72381

           1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 = 0.83492

            ...................................

Zde (n+1)-ní člen posloupnosti získáme z n-tého členu přičtením (-1)ⁿ / (2n+1). I zde se členy posloupnosti znázorněny na číselné ose střídavě zprava zleva přibližují určitému "limitnímu" bodu – tomu však neodpovídá žádné racionální číslo. A přitom vzdálenost mezi bodem nula a tímto limitním bodem je velice důležitá, je to osmina délky jednotkové kružnice!

       Nejpřirozenější cesta k rozšíření množiny racionálních čísel je taková, že rozšířená množina obsahuje všechny limitní body takovýchto posloupností racionálních čísel, rozdíl mezi jejichž členy stále klesá a blíží se k nule. Ty vzájemně jednoznačně korespondují s body na přímce. Dostáváme tak množinu všech reálných čísel. Pohybujeme se při tom v oblasti aktuálního nekonečna. G. Cantor dokázal, že množina všech reálných čísel není spočetná.

       Reálná čísla potřebujeme. Potřebujeme je nejen kvůli oné krásné budově či kouzelné zahradě matematiky. Bez nich bychom nemohli vyjadřovat délky v geometrii, neměli bychom diferenciální a integrální počet, a tedy ani na nich stojící fyziku a techniku. Zkrátka, bez reálných čísel by byl i náš reálný svět, svět každodenní zkušenosti chudý a smutný. Reálná čísla jsou více než produkt lidské fantazie.

       Žijeme v době počítačů. V počítačích jsou uloženy (a zpracovávány) nejrůznější texty, vědecké práce, encyklopedie. Můžeme říci, že naše lidské poznání skutečnosti může být uloženo do počítače. Informace je kódována; základní kódování je takové, že každému symbolu psaného textu odpovídá jeden byte, který může nabývat 256 různých hodnot – ty odpovídají malým a velkým písmenům, číslicím, běžným a zvláštním (tabelátor, začátek nového řádku apod.) interpunkčním znaménkům a různým speciálním znakům. Na uložený text se můžeme dívat jako na posloupnost číslic ze soustavy o základu 256, tedy jako na přirozené číslo zapsané v soustavě o základu 265. Přirozených čísel je ovšem spočetně mnoho. To, co jako lidé můžeme běžnými vyjadřovacími prostředky sdělit, se vejde do spočetné množiny! Jak je to tedy s nespočetnými množinami? Jsou tak mohutné, že jen "nepatrná část", jen určitá spočetná podmnožina (již však sotva lze nějak přijatelně charakterizovat) nespočetné množiny (a myslíme teď především na množinu všech reálnýchčísel), je našimi prostředky popsatelná, "uchopitelná". Naprostá většina takové množiny zůstává mimo možnosti lidského popisu a sdělování. A přesto by bylo pošetilé reálným číslům (tedy: množině všech reálných čísel) upírat existenci. Poznáváme, že ve světě matematiky je něco nedosažitelného, něco o čem víme, avšak k čemuž plně nemůžeme. Něco, co může připomínat náboženskou, popřípadě uměleckou zkušenost. Nedaleko krásného Bledského jezera stojí pomník velkého slovinského matematika Josipa Plemelja s vytesaným jeho osobním vyznáním: "Matematika je mi životní potřebou a uměleckým prožitkem".

       Existence něčeho nepoznatelného, nedosažitelného, neuchopitelného byla pro myšlení 19. a velké části 20. století sotva přijatelná. Pro matematiku je charakteristická deduktivní metoda, z níž vyrostl jako směr matematického myšlení formalismus, v němž jde o odvozování tvrzení ze zvolené soustavy axiomů. Pro formalistu tvrzení: "Množina M je nespočetná" neznamená současnou existenci nespočetného množství nějakých objektů, nýbrž jde jen o atribut jednoho objektu, přičemž nejde o to, co tento atribut znamená. Pro formalistu je matematika bohatou hrou s přesnými pravidly. Ani predikát "existuje" neznamená pro něho nějakou reálnou existenci, avšak je jen součástí oné hluboce sofistikované hry. Formalismus byl pro matematiky lákavým programem, doplněným představou přenechat aplikace ostatním, přírodovědcům, technikům, ekonomům atd. Škrt přes tyto naděje udělal brněnský rodák, snad největší matematický logik 20. století Kurt Gödel tím, že dokázal, že program formalistů nestačí už na aritmetiku, že každá soustava axiomů popisující aritmetiku, pokud je bezesporná, je nutně neúplná. Sporné teorie nejsou k ničemu. Aritmetiku nelze plně axiomatizovat. Aritmetika je přece jen cosi více než soubor logických důsledků konečného souboru axiómů.

       Gödelovy výsledky otevřely dveře matematickému platonismu, znamenající přiznání objektivní existence matematickým objektů – mimo naši lidskou mysl i mimo materiální hmotný svět. Platonův svět idejí se opět otvírá. Kromě toho, co lze popsat, co může být výsledkem vědeckého zkoumání, existuje něco mimo smysly dosažitelný svět; to nás vede k pokoře a skromnosti, avšak i k odpovědnému poznávání s osobním zaujetím. Je dobré a žádoucí existenci toho, co nás přesahuje, hluboce prožít. Je dobré a žádoucí uvědomit si, jakými cestami se při poznávání světa ubírat. Tedy na jedné straně příjmout existenci "neuchopitelných" skutečností, na druhé straně hledat cesty ke skutečnostem "uchopitelným". První důraz se v matematice promítá do platonismu, druhý do konstruktivismu. Konstruktivistické myšlení úzce souvisí s teorií počítačů. Můžeme se ptát, jaké jsou principiální možnosti těchto strojů. "Pravidla hry", podle nichž spolehlivě pracují počítače, a "pravidla hry" formalistů, mají spolu cosi společného, avšak běh počítače (programu, algoritmu), probíhá v reálném čase. Je známo, že se program někdy "zacyklí", tedy neskončí. Může to být například, počítáme-li n! tak, že do řídící buňky A vložíme číslo n a do buňky B číslo 1; je-li v buňce A nenulové číslo, odečteme od něho 1 a obsah buňky B jím znásobíme; je-li v buňce A nula, výpočet skončíme a v B je výsledek. Algoritmus funguje pro přirozená čísla (včetně nuly), pro ostatní čísla se výpočet nezastaví. Taková vlastnost není příjemná. Bylo by dobré umět rozpoznat, zda pro daný algoritmus existuje riziko takovéhoto zacyklení či zda se vždy zastaví. Představme si, že máme algoritmus (program), který toto rozpoznávání vykonává ("ANO"= vždy se zastaví, "NE"=pro některé vstupní údaje se nezastaví). Takový algoritmus můžeme "poupravit", místo, aby odpověděl "ANO", necháme jej zacyklit (to je snadná programátorská úprava). Odpověď "NE" necháme beze změny. A teď nechme tento algoritmus, aby se vyjádřil sám o sobě. Zacyklí se, právě když by měl odpovědět, že se nezacyklí! Problém zastavení není algoritmicky rozhodnutelný. Existují dobře formulovatelé algoritmicky nerozhodnutelné problémy. V konstruktivistické matematice tedy neplatí ono klasické "tertia non datur"; zde není pravda, že by vždy platilo buď "ANO", nebo "NE". Odpověď není "zakódována" v nějaké statické odpovědi, nýbrž je výsledkem procesu, který nemusí skončit (avšak skutečnost, že trvá třeba nesmírně dlouho, neznamená, že nikdy neskončí). Ona třetí možnost – ani "ano", ani "ne", není s klasickými dvěma rovnocenná, její ověření by znamenalo uskutečnění nekonečně dlouhého procesu, což není možné,

       Lze se naučit myslet konstruktivisticky, avšak je to velice obtížné. Konstruktivní matematika zná i pojem "konstruktivní reálná čísla" – to jsou právě ona "uchopitelná" čísla, která umíme nějak popsat. Mezi ně patří délky úhlopříček v jednotkovém čtverci či pětiúhelníku, číslo π = 4(1 – 1/3 + 1/5 –1/7 + 1/9 - ...), číslo e = 1/(1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + ...) atd. Matematická analýza vytvořená jen pro konstruktivní reálná čísla je nesmírně komplikovaná a je více méně jen "akademickou" záležitostí.

       Otvírají se nám dva pohledy do matematické reality: platónský a konstruktivistický. Sotva rozhodneme, který je správnější, podobně jako ve fyzice musíme přijmout skutečnost, že fyzikální realita má jak vlnovou, tak částicovou povahu, přičemž pro naše myšlení jsou neslučitelné. Poznáváme, vytváříme představy, modely a teorie, které neustále zdokonalujeme a upřesňujeme, avšak stále je před námi mnohé, co asi nikdy nepochopíme. Pro platónský přístup je charakteristická aktuálnost, základním slovesem je být, pro konstruktivistický potenciálnost se slovesem stávat se. Logika platónského přístupu nám bude asi vždy bližší, jak dokazuje i porovnání role právě zmíněných sloves v indoevropských jazycích. Snad jen užívání německého slovesa werden signalizuje určitý prvek potenciálnosti. Etnografové poukazují na od našeho výrazně rozdílné myšlení severoamerických indiánu Hopi, u nichž centrální roli má potenciálnost, stávání se, proces, což se ukazuje i v jejich jazyce.

Konstruktivistický přístup naznačuje, že tvůrčí duševní činností můžeme stále hlouběji pronikat do dosažitelné, "uchopitelné" části světa, který nás přesahuje; můžeme stále více poznávat a poznání užívat k prohlubování a zdokonalování lidského bytí na tomto světě. Platónský přístup pak svědčí o existenci oblastí, kam rozumem plně nepronikneme. Můžeme si je jen vnitřně uvědomovat, třeba formou mystického, náboženského nebo uměleckého prožitku, který je dotekem s realitou, skutečnou, objektivně existující, avšak pro nás v tomto pozemském bytí nedosažitelnou. A protože mně blízký platónský pohled transponovaný do křesťanského myšlení znamená vidět v matematických objektech, speciálně v reálných číslech, objektivní realitu, tedy součást stvořeného světa (byť přesahující tradiční předmět přírodovědy), dovoluji si s tento příspěvek prezentovat v rámci tématu "Dialog přírodních věd a teologie" (ten už kvůli teologii  nutně také tradiční předmět přírodovědy přesahuje). Jako mladý formalismem okouzlený student bych to býval rozhodně nedělal.

Literatura:

Barrow, J.D.: Pí na nebesích. Praha, MF (Kolumbus) 2002

Davis, P.J. – Hersch: R.: The Mathematical experience. Boston, Birkenhäuser 1981