VŠE o ... číslech a utajování

"Matematika mi je životní potřebou a uměleckým požitkem". Tato slova jsou vytesána do pomníku významného slovinského matematika Josipa Plemelje (1873 - 1967) v krásném prostředí Bledského jezera. Věřím, že spolu s prvním rektorem lublaňské univerzity takto vyznávají mnozí další matematici, k nimž se skromně připojuji i já. Kdo toto cítí a vyznává, nemůže mít radost z redukce výuky matematiky, která v posledních letech proběhla na mnoha vysokých školách. Sympatické je nedávné zařazení jednosemestrálního kursu Matematické základy informatiky (MZI) do studijních plánů oboru Aplikovaná informatika na VŠE. Probírají se zde mj. základy teorie (celých, resp. přirozených) čísel, která leží mimo náplň tradičních vysokoškolských kursů matematiky. Dlouho se o ní myslelo, že je to sice zajímavá a bohatá teorie, avšak bez aplikací.  V poslední třetině minulého století se však objevilo její významné využití, a to v kryptografi  - k šifrování zpráv, k utajování. Pro rozvíjející se elektronickou komunikaci je to úžasný vklad.

Jedním ze základních pojmů teorie čísel je prvočíslo, což je přirozené číslo větší než 1, které kromě 1 a sebe sama nemá jiné dělitele. Prvočísly jsou např. 2 či 11, a také 6 917 a 7 829. Zkuste si (nejraději jen s využitím znalostí ze základní školy) dvě uvedená čtyřciferná čísla mezi sebou vynásobit. Pár minut asi výpočet spotřebuje, ale dojít k výsledku 54 153 193 není nic těžkého.  A teď si představte opačnou úlohu. Aniž byste předem prvočísla znali, máte toto číslo rozložit na součin prvočísel. To by se vám za přijatelnou dobu nepodařilo! V onom čísle sice informace o jeho činitelích obsažena je, avšak bez nějaké další informace je prakticky nedosažitelná. Toho, že některé operace v jednom směru probíhají jednoduše, zatímco v obráceném jsou velmi obtížné, se využívá k šifrování zpráv. Se součinem dvou velkých prvočísel pracuje metoda RSA (vymysleli ji roku 1977 matematici Rivest, Shamir a Adleman). Pro počítač rozložit číslo 54 153 193 by byla hračka; avšak v kryptografické praxi nepracujeme s čtyřcifernými, nýbrž třeba s několikasetcifernými čísly. Ta počítač (podobně jako člověk v předchozím případě) bez problémů vynásobí, avšak jejich součin (bez znalosti aspoň jednoho z činitelů) v rozumném čase nedokáže na činitele rozložit. I s podstatou těchto exponenciálně složitých úloh se studenti v MZI seznamují.  

Teorie čísel našla důležitou aplikaci. To matematika potěší. Ale je to dobře i z určitého nadhledu? K bohatě prožívanému lidskému životu patří i snění. A což snít o světě, kde by všichni lidé byli slušní a poctivíí a šifrování či utajování by prostě nepotřebovali? Byl by to krásný svět, o nějž bychom měli usilovat, nicméně ono ohromné uplatnění teorie čísel by ztratilo smysl.  Slavný ruský učenec M.V.Lomonosov však napsal: "Matematiku už jen proto je dobré studovat, poněvadž ona rozum do pořádku dává". A tato úloha by matematice zůstala i v onom krásném vysněném rajském světě.  A náleží jí i v dnešním světě plném různých "duševních protéz". A tak, těše se z možnosti seznamovat studenty se základy teorie čísel, doufám, že už pro "dávání rozumu do pořádku" matematika ve vysokoškolských studijních programech zas získá důstojnější postavení.

Jiří Nečas

Vyšlo v Hospodářských novinách  19/11/2015