Petrohradský paradox a rovná daň
RNDr. Jiří Nečas, katedra matematiky FIS VŠE Praha
1. Petrohradský paradox. V přírodovědě poslední čtvrtiny 20. století výrazně
vzrostl zájem o nelineární zákonitosti (nerovnovážná termodynamika [Prigogine
(1997)], [Prigogine (2001)], deterministický chaos [Gleick (1996)]). Tento
trend má co říci i do oblasti ekonomie. V ekonomické praxi je používání
lineárních funkcí a lineárně tvořených ukazatelů hodně běžné. Přitom často je
třeba postihnout chování člověka a jeho vnímání ekonomických kvantit. Z
fyziologické akustiky a optiky je známo, že člověk vnímá různé objektivně
měřitelné kvantity nelineárně. Není důvod, proč by podobné tvrzení nemělo
platit pro kvantity ekonomické, speciálně pro bohatství, resp. množství peněz
(příjem); nelineární vnímání kvantit se pak promítá do rozhodování, jak to
demonstruje známý petrohradský paradox. Na základě jeho klasického Bernoulliova
vysvětlení budeme analyzovat vypovídací hodnotu aritmetického průměru příjmů
jako ukazatele životní úrovně, a pak zaměříme pozornost k dnes hojně užívanému
pojmu "rovná daň", jehož význam se při vykročení za hranice
lineárních vztahů výrazně změní.
Připomeňme
nejdříve, oč v petrohradském paradoxu jde (podle [Hušek (1989)], resp. [Nečas
(1978)]). Potenciálnímu hráči je nabínuto sehrát partii hry, která záleží v
tom, že se hází mincí tak dlouho, dokud nepadne líc. Objeví-li se líc ponejprv
v n-tém hodu, dostane částku 2n Kč, a tím hra končí.
Potom potenciálního hráče vyzveme, aby sám určil částku, kterou je ochoten
vložit za možnost partii hry sehrát. Přestože střední hodnota výhry je
nekonečná, je nepravděpodobné, že by byl ochoten k vkladu přesahujícímu 100 Kč.
Daniel Bernoulli vysvětlil tento jev tím, že funkce
užitku1) peněz není lineární a přímo stanovil její tvar. Označme x
množství peněz a U jemu odpovídající užitek. D. Bernoulli vyšel z
předpokladu, že marginální užitek z peněžní jednotky je nepřímo úměrný vlastněné
částce peněz, tj.
(1) du/dx = a/x,
kde a
je kladná konstanta, spojená s volbou jednotky pro užitek. Integrací odtud
získáme
(2) u = a ln (x/x0)
Integrační
konstanta x0 vyjadřuje jakousi prahovou (minimální v daném
kontextu registrovatelnou) částku peněz. K otázce této prahové hodnoty se ještě
vrátíme; pro úvahy o petrohradském paradoxu zvolme a = 1, x0
= 1 Kč.
Střední
hodnotka užitku při rozhodnutí "hrát" je pak
(ln 2)/2 + (ln 4)/4 + ... + (ln 2k)/
2k + ... =
= ln 2 (1/2 + 2/4 + ... + k/ 2k
+ ... ) = 2 ln 2 = ln 4
Tedy
střední hodnota užitku při rozhodnutí hrát odpovídá částce 4 Kč.
2. Weberův-Fechnerův zákon. Jistěže jak volba prahové hodnoty, tak i sama volba
tvaru funkce, tj. předpoklad (1), jsou diskutabilní; podobné úvahy by bylo
možno dělat za obecnějších předpokladů, např.
(3) du/dx = a/xb (0 < b £ 1)
My
však zůstaňme u Bernoulliho logaritmického tvaru funkce užitku (tj. budeme
uvažovat hodnotu b = 1). Ten totiž velice úzce koresponduje s obecným Weberovým-Fechnerovým
zákonem2) týkajícím se subjektivního vnímání objektivních veličin:
podle Weberova-Fechnerova zákona člověk vnímá objektivně měřitelné veličiny
logaritmicky (intenzita vjemu je přímo úměrná logaritmu skutečně vnímané
veličiny). S Weberovým-Fechnerovým zákonem se lze setkat prakticky jen v
textech věnovaných akustice či optice, nicméně jeho formulace i význam
přesahují nejen oblast akustiky3) a optiky, nýbrž celou fyziku4);
v tomto článku jej budeme aplikovat na vnímání ekonomických kvantit.
Vyjádření užitku ve tvaru (2)
Weberovu-Fechnerovu zákonu odpovídá. Užitek charakterizuje vnímání objektivní
hodnoty, jíž je množství peněz (příjem), a tedy obecné formulaci tohoto zákona
skutečně odpovídá. A použití Weberova-Fechnerova zákona zde je v souladu s
Bernoulliho vysvětlením petrohradského paradoxu.
Dále již nebudeme uvažovat vklad do hry, nýbrž příjem
za určité období (v české praxi měsíc). Pro volbu prahové hodnoty se nabízí
životní minimum, minimální mzda, odečitatelná nezdaněná část příjmu apod. (tedy
v ČR hodnota cca mezi
3. Ukazatel charakteristické
hodnoty příjmu. Velice často se hovoří o průměrném příjmu, což je sice
užitečný ukazatel úhrnné výše příjmů, pro lepší vytvoření představy
"normovaný na hlavu", nicméně o středním užitku (o vnímané
charakteristické hodnotě příjmu) vypovídá velice málo. Uvažujme proto soubor N
lidí s příjmy xi (i = 1, 2, ..., N), jimž
odpovídají hodnoty užitku
(4) ui = ln (xi/x0)
(x0
je referenční prahová hodnota; měřítko pro hodnoty užitku je dáno vztahem (4),
tj ve vztahu (2) klademe a = 1).
Průměrná hodnota užitku pak je
(5) uavg = N-1
(ln (x1/x0) + ln (x2/x0)
+ ... + ln (xN/x0)) =
= N-1 (ln (x1)
+ ln (x2) + ... + ln (xN)) - ln x0 =
= ln ((x1 . x2.
... . xN)1/N) - ln x0 =
= ln ((x1 .
x2. ... . xN)1/N/ x0)
Průměrná
hodnota užitku tedy odpovídá příjmu
(x1 . x2
. ... . xN)1/N,
tedy geometrickému
průměru příjmů jednotlivců, a to nezávisle na volbě referenční hodnoty x0.
S geometrickým průměrem se ve statistických výkazech
prakticky nesetkáváme. Přitom to, jak je vnímána sledovaná kladná veličina,
zřejmě vystihuje lépe než aritmetický průměr. Jeho opomíjení může souviset s
určitou setrvačností (před érou počítačů byl jeho výpočet zdlouhavý), avšak
může být motivováno i určitou obavou z pravdy.
4. Rovná daň. Velikost daně
z příjmu je zpravidla rostoucí (a dokonce konvexní, nikoli ovšem ryze konvexní,
neboť bývá po částech lineární) funkcí výše příjmu. Zvláště z některých míst na
pravé části politického spektra se ozývající volání po "rovné dani"
zpravidla znamená nahradit ji funkcí lineární. Pokud však vezmeme v úvahu
logaritmické vnímání množství peněz, tedy i příjmu, pojem "rovná
daň" může nabýt výrazně jiný smysl.
Předpokládejme, že vztah mezi příjmem x
a užitkem u je dán vztahem
(6) u = ln (x/x0).
Část
hrubého příjmu xb tvoří daň xd, zbytek xn
je čistým příjmem, xb = xd + xn.
Hrubému
příjmu xb odpovídá "hrubý užitek"
(7) ub = ln (xb/x0).
"Rovné
dani" by bylo možno rozumět tak, že vždy by měl být zachován stejný podíl
hrubého (ub) a čistého (un) užitku, tj.
(8) un = a ub (0 < a < 1)
Čistému
užitku un pak odpovídá čistý příjem xn vyjádřený identitou
(9) un = ln (xn/x0),
tedy
(10) xn = x0 exp (un),
odkud
pomocí vztahů (8) a (7) dostaneme
(11) xn
= xba . x01-a = b xba,
kde hodnota konstanty b = (1/x0)a-1 závisí na zvolené hodnotě a a na prahové
hodnotě x0. Velikost daně5) tedy je
(12) xd
= xb - xn
= xb (1 - b xba-1) = xb (1 - (xb/x0)a-1)
Daňová
sazba h (podíl xd/xb
daně a hrubého příjmu) je tedy dána výrazem
(13) h = xd/xb = 1 - (xb/x0)a-1;
V
tabulce 1 ve sloupcích (C) až (F) je uvedena výše daňové sazby6) pro
vybrané hodnoty koeficientu a v závislosti na podílu xb/x0
(sloupec (A); hodnota v každém následujícím řádku je 21/4-násobkem
[tj. zhruba 1,19-násobkem] hodnoty z řádku předchozího). Ve sloupci (B)
této tabulky jsou uvedeny hodnoty velikosti hrubého příjmu xb
odpovídající relativním hodnotám uvedeným ve sloupci (A) pro referenční hodnotu
x0 = 3170 Kč. Sloupce (C) až (F) tabulky 1 odpovídají po řadě
hodnotám a = 1,0, 0,95, 0,9, 0,85, 0,8, 0,75.
Z hodnot uvedených v tabulce 1 je vidět,
že navrhovaná daňová sazba h je progresívní (tj. že h je rostoucí funkcí7) hrubého příjmu xb);
progresivita daně z příjmu tedy sama o sobě neznamená znevýhodňování lidí s
vyššími příjmy, nýbrž je vyjádřením skutečnosti logaritmického vnímání množství
peněz, na něž upozornil už r. 1738 D. Bernoulli a které je speciálním případem
zákonitostí, jimž se v druhé polovině 19. století věnoval G. T. Fechner.
Smyslem
těchto úvah není přinést hotové konkrétní doporučení pro reformu přímých daní8).
Jde o to prostřednictvím určitého zatím poněkud netradičního pohledu ukázat, že
problematika spravedlnosti a rovnosti není tak jednoduchá, jak někteří politici
a jim sekundující novináři proklamují. Dnešní vývoj v přírodních vědách
ukazuje, že pro život a pro fungování celého zemského systému mají stěžejní
roli nelinarity. Snaha po linearizaci znamená zploštění skutečnosti. Doba, kdy
linearizace byla nutná z výpočtových důvodů, již minula. Dnešní možnosti
informační techniky jsou nesmírné a umožňují vystihnout závislosti a
zákonitosti, k nimž dříve z praktických důvodů nemohlo být přihlíženo.
Literatura:
Frank,
R.H. - Bernanke, B.S.: Ekonomie. Praha, Grada 2003
Gleick,
J.: Chaos. Praha, Ando 1996
Gregory
Mankiw, N.: Zásady ekonomie. Praha, Grada 1999.
Horák,
Z. - Krupka, F.: Fyzika. Praha, SNTL - Alfa 1976
Hušek,
R. - Maňas, M.: Matematické modely v ekonomii. Praha, SNTL 1989
Nečas,
J. (ed.): Aplikovaná matematika. Oborová encyklopedie.
Praha, SNTL 1977 - 1978 (2 sv.)
Prigogine,
I.: The End of Certainity. New York, The Free Press 1997
Prigogine,
I. - Stengersová, I.: Řád z chaosu. Praha, MF 2001
Samuelson,
P.A.: Foundations of Economic Analysis. New York, Atheneum 1971
Samuelson,
P.A. - Nordhaus, W.D.: Economics. New York, McGraw-Hill 1992
Swoboda,
H.: Moderní statistika. Praha, Svoboda 1977
--------------------------------------------------------------------------------------
Poznámky pod čarou
1) Užitek jako
vyjádření preferencí bývá často chápán jako veličina invariantní vůči jakékoli
rostoucí transformaci. V tomto článku se však na užitek aplikují lineární
operace (sčítání, násobení reálným číslem), a proto o něm budeme uvažovat jako
o veličině invariantní jen vůči násobení kladným reálným číslem, což odpovídá
libovůli při volbě jednotky. V tomto smyslu se pojem užitek v souvislosti s
petrohradským paradoxem běžně používá ([Hušek (1989)], resp. [Nečas (1978)]).
Omezíme se na užitek přiřazený penežním částkám.
2)
Wilhelm Weber (1804-1891), německý fyzik, blízký spolupracovník C.F.
Gausse. Gustav Theodor Fechner (1801-1877), německý fyzik, filozof a
psycholog, zakladatel "psychofyziky".
3)
V akustice platí, že intenzita
sluchového vjemu závisí nejen na velikosti (hustotě) energetického toku (jde o
energii mechanického vlnění), nýbrž i na frekvenci; ucho je k různým frekvencím
různě citlivé. Pro jednoduchost se této závislosti na frekvenci můžeme vyhnout
tak, že uvažujeme jen monochromatické vlnění. Fyziologická akustika pak pracuje
s vyjádřením závislosti intenzity vjemu I na hustotě W příslušného
energetického toku ve tvaru
I = K.ln(W/W0),
kde K
je konstanta daná volbou měřítka intenzity vjemu (při použití decibelů je K =
10 / ln 10) a W0 je prahová hodnota (práh slyšitelnosti), jež
musí být překročena, aby byl podnět vnímán. Ve skutečnosti je tato hodnota
závislá na subjektu, avšak pro praxi se přijímá určitý konsensus a definuje
obecně přijímaná referenční hodnota (pro frekvenci 1 kHz je W0 = 10-12 Wm-2).
Přestože zde dochází k jakési umělé objektivizaci subjektivního vjemu
(umožněné zmíněnou dohodou o "definitorické hodnotě" subjektivního
parametru), fyziologická akustika se rozvinula a rozvíjí a má četné aplikace.
4) Fyzikální
veličinou, jejímž vnímáním (na rozdíl od hustoty energetických toků) se fyzika
zpravidla nezabývá, je čas. Nicméně známá zkušenost, že s přibývajícím věkem
člověku čas "plyne rychleji", je v kvalitativním souladu s
Weberovým-Fechnerovým předpokladem o logaritmickém vnímání objektivních
veličin. Prahovou hodnotou zde může být věk, od něhož si člověk začíná
pamatovat události (jistě velmi subjektivní, avšak zhruba 2 až 3 roky); s
logaritmickým vnímáním času je v souladu i to, že si nikdo nepamatuje na svůj
začátek (subjektivně "existuje od svého -¥").
5) Platí:
dxd/dxb = 1
- a(xb/x0)a-1 >
0;
d2xd/dxb2 = (1-a).a.x0-1.(xb/x0)a-2 > 0;
velikost daně je tedy rostoucí
konvexní funkcí daňového základu. (Nerovnosti platí, neboť 0<a<1,(xb/x0)a-1<1.)
6) Platí:
dh/dxb = (1-a).x0-1.(xb/x0)a-2 > 0;
d2h/dxb2 = -(1-a).(2-a).x0-2.(xb/x0)a-3 < 0;
velikost daňové sazby je tedy
rostoucí konkávní funkcí daňového základu (Nerovnosti platí, neboť 0<a<1.)
7) Z předchozích
dvou poznámek plyne, že pro uvažovanou daňovou sazbu platí:
d2xd/dxb2 = a.dh/dxb;
skutečnost, že daňová sazba je rostoucí funkcí
hrubého příjmu, tedy znamená totéž, jako že velikost daně je jeho konvexní
funkcí.
První verse
poznámky 8
8)
Dnes se velikost daně z příjmu (xd) vyjádřuje pomocí konvexní
po částech lineární funkce hrubého příjmu (xb).
Doučasná daňová sazba h = xd/xb se s výjimkou hodnot pro
extrémně nízké a extrémně vysoké příjmy poměrně dobře shoduje se sazbou v tomto
článku navrhovanou. V tabulce 2 je porovnána navrhovaná sazba s koeficientem a =
Alternativní
verse poznámky 8
(pokud bude
použita místo předchozí verse, je třeba vynechat tabulku 2)
8)
Dnes se velikost daně z příjmu (xd) vyjádřuje pomocí konvexní
po částech lineární funkce hrubého příjmu (xb).
Současná daňová sazba h = xd/xb se s výjimkou hodnot
pro extrémně nízké a extrémně vysoké příjmy poměrně dobře shoduje se sazbou v
tomto článku navrhovanou (při vhodné volbě hodnot koeficientu a, při odečitatelné částce 3170 Kč a stejné prahové
hodnotě lze ověřit, že při a = 0,907 se
při příjmech mezi
Petersburg paradox and Equal Taxation
Resumé
Daniel Bernoulli's explanation of Petersburg paradox is
a special case of general Weber-Fechner's law for area of economy. Till now,
this law used to be used outside the area of physics only very rarely.
From social point of view, more attention should be
payed to subjective perception of economic quantities. This leads to more often
use of geometrical mean. Considering Weber-Fechner's law, we can receive a
non-traditional view on so called equal taxation.
Keywords
Weber-Fechner's law
Peterburg paradox
Equal taxation
Perception of quantities
Geometrical mean
Characteristic value of income
Tabulka 1
|
|
Výše hrubého |
|
|
|
|
|
|
|
Relativní výše |
|
příjmu xb |
|
|
|
Daňová |
sazba |
|
|
hrubého příjmu |
|
při refereneční |
|
|
|
|
|
|
|
xb/x0 |
|
hodnotě x0=3170 Kč |
a= |
1 |
0,95 |
0,9 |
0,85 |
0,8 |
0,75 |
(A) |
|
(B) |
|
(C) |
(D) |
(E) |
(F) |
(G) |
(H) |
1 |
|
3170,00 |
|
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
1,189207115 |
|
3769,79 |
|
0,00 |
0,86 |
1,72 |
2,57 |
3,41 |
4,24 |
1,414213562 |
|
4483,06 |
|
0,00 |
1,72 |
3,41 |
5,07 |
6,70 |
8,30 |
1,681792831 |
|
5331,28 |
|
0,00 |
2,57 |
5,07 |
7,50 |
9,87 |
12,19 |
2 |
|
6340,00 |
|
0,00 |
3,41 |
6,70 |
9,87 |
12,94 |
15,91 |
2,37841423 |
|
7539,57 |
|
0,00 |
4,24 |
8,30 |
12,19 |
15,91 |
19,48 |
2,718281828 |
|
8616,95 |
|
0,00 |
4,88 |
9,52 |
13,93 |
18,13 |
22,12 |
2,828427125 |
|
8966,11 |
|
0,00 |
5,07 |
9,87 |
14,44 |
18,77 |
22,89 |
3,363585661 |
|
10662,57 |
|
0,00 |
5,88 |
11,42 |
16,64 |
21,54 |
26,16 |
4 |
|
12680,00 |
|
0,00 |
6,70 |
12,94 |
18,77 |
24,21 |
29,29 |
4,75682846 |
|
15079,15 |
|
0,00 |
7,50 |
14,44 |
20,86 |
26,80 |
32,29 |
5,656854249 |
|
17932,23 |
|
0,00 |
8,30 |
15,91 |
22,89 |
29,29 |
35,16 |
6,727171322 |
|
21325,13 |
|
0,00 |
9,09 |
17,35 |
24,87 |
31,70 |
37,91 |
8 |
|
25360,00 |
|
0,00 |
9,87 |
18,77 |
26,80 |
34,02 |
40,54 |
9,51365692 |
|
30158,29 |
|
0,00 |
10,65 |
20,17 |
28,67 |
36,27 |
43,06 |
11,3137085 |
|
35864,46 |
|
0,00 |
11,42 |
21,54 |
30,50 |
38,44 |
45,47 |
13,45434264 |
|
42650,27 |
|
0,00 |
12,19 |
22,89 |
32,29 |
40,54 |
47,79 |
16 |
|
50720,00 |
|
0,00 |
12,94 |
24,21 |
34,02 |
42,57 |
50,00 |
19,02731384 |
|
60316,58 |
|
0,00 |
13,70 |
25,52 |
35,72 |
44,52 |
52,12 |
22,627417 |
|
71728,91 |
|
0,00 |
14,44 |
26,80 |
37,37 |
46,41 |
54,15 |
C20 -
Econometric Methods: Single Equation Models; Single Variables - General
E62 - Fiscal
Policy; Public Expenditures, Investment, and Finance; Taxation
H24 - Personal
Income and Other Nonbusiness Taxes and Subsidies
Tabulka 2
Výše hrubého |
|
Diskutovaná |
Stávající |
Rozdíl |
příjmu xb |
Relativní výše |
daňová sazba |
sazba daně |
|
při refereneční |
hrubého příjmu |
pro |
|
podílu |
hodnotě |
|
a=0,907 |
Podíl z příjmu |
předchozích |
x0=3170 Kč |
xb/x0 |
(%) |
(%) |
2 sloupců |
(B) |
(A) |
(C) |
(D) |
(E) |
3170 |
1,000 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
4000 |
1,262 |
2,14 |
3,11 |
0,45 |
5500 |
1,735 |
5,00 |
6,35 |
0,27 |
7000 |
2,208 |
7,10 |
8,21 |
0,16 |
8500 |
2,681 |
8,76 |
9,41 |
0,07 |
10000 |
3,155 |
10,13 |
10,25 |
0,01 |
12500 |
3,943 |
11,98 |
12,13 |
0,01 |
15000 |
4,732 |
13,46 |
13,44 |
0,00 |
17500 |
5,521 |
14,69 |
14,38 |
-0,02 |
20000 |
6,309 |
15,74 |
15,08 |
-0,04 |
22500 |
7,098 |
16,66 |
15,41 |
-0,08 |
25000 |
7,886 |
17,47 |
16,37 |
-0,06 |
27500 |
8,675 |
18,20 |
17,15 |
-0,06 |
30000 |
9,464 |
18,86 |
17,81 |
-0,06 |
35000 |
11,04 |
20,02 |
19,68 |
-0,02 |
40000 |
12,62 |
21,00 |
21,22 |
0,01 |
45000 |
14,20 |
21,86 |
22,42 |
0,03 |
50000 |
15,77 |
22,63 |
23,38 |
0,03 |
55000 |
17,35 |
23,31 |
24,16 |
0,04 |
60000 |
18,93 |
23,93 |
24,81 |
0,04 |
70000 |
22,08 |
25,01 |
25,84 |
0,03 |
80000 |
25,24 |
25,94 |
26,61 |
0,03 |
90000 |
28,39 |
26,74 |
27,21 |
0,02 |
100000 |
31,55 |
27,46 |
27,69 |
0,01 |
110000 |
34,70 |
28,10 |
28,08 |
0,00 |
120000 |
37,85 |
28,68 |
28,41 |
-0,01 |
130000 |
41,01 |
29,21 |
28,68 |
-0,02 |
140000 |
44,16 |
29,69 |
28,92 |
-0,03 |
150000 |
47,32 |
30,14 |
29,13 |
-0,03 |
160000 |
50,47 |
30,56 |
29,31 |
-0,04 |
170000 |
53,63 |
30,95 |
29,46 |
-0,05 |
1000000 |
315,5 |
41,44 |
31,57 |
-0,24 |
10000000 |
3155 |
52,73 |
31,96 |
-0,39 |