Petrohradský paradox a rovná daň

RNDr. Jiří Nečas, katedra matematiky FIS VŠE Praha

 

1. Petrohradský paradox. V přírodovědě poslední čtvrtiny 20. století výrazně vzrostl zájem o nelineární zákonitosti (nerovnovážná termodynamika [Prigogine (1997)], [Prigogine (2001)], deterministický chaos [Gleick (1996)]). Tento trend má co říci i do oblasti ekonomie. V ekonomické praxi je používání lineárních funkcí a lineárně tvořených ukazatelů hodně běžné. Přitom často je třeba postihnout chování člověka a jeho vnímání ekonomických kvantit. Z fyziologické akustiky a optiky je známo, že člověk vnímá různé objektivně měřitelné kvantity nelineárně. Není důvod, proč by podobné tvrzení nemělo platit pro kvantity ekonomické, speciálně pro bohatství, resp. množství peněz (příjem); nelineární vnímání kvantit se pak promítá do rozhodování, jak to demonstruje známý petrohradský paradox. Na základě jeho klasického Bernoulliova vysvětlení budeme analyzovat vypovídací hodnotu aritmetického průměru příjmů jako ukazatele životní úrovně, a pak zaměříme pozornost k dnes hojně užívanému pojmu "rovná daň", jehož význam se při vykročení za hranice lineárních vztahů výrazně změní.

 Připomeňme nejdříve, oč v petrohradském paradoxu jde (podle [Hušek (1989)], resp. [Nečas (1978)]). Potenciálnímu hráči je nabínuto sehrát partii hry, která záleží v tom, že se hází mincí tak dlouho, dokud nepadne líc. Objeví-li se líc ponejprv v n-tém hodu, dostane částku 2n Kč, a tím hra končí. Potom potenciálního hráče vyzveme, aby sám určil částku, kterou je ochoten vložit za možnost partii hry sehrát. Přestože střední hodnota výhry je nekonečná, je nepravděpodobné, že by byl ochoten k vkladu přesahujícímu 100 Kč.

Daniel Bernoulli vysvětlil tento jev tím, že funkce užitku1) peněz není lineární a přímo stanovil její tvar. Označme x množství peněz a U jemu odpovídající užitek. D. Bernoulli vyšel z předpokladu, že marginální užitek z peněžní jednotky je nepřímo úměrný vlastněné částce peněz, tj.

(1)              du/dx = a/x,               

kde a je kladná konstanta, spojená s volbou jednotky pro užitek. Integrací odtud získáme

(2)              u = a ln (x/x0)

Integrační konstanta x0 vyjadřuje jakousi prahovou (minimální v daném kontextu registrovatelnou) částku peněz. K otázce této prahové hodnoty se ještě vrátíme; pro úvahy o petrohradském paradoxu zvolme a = 1, x0 = 1 Kč.

 

Střední hodnotka užitku při rozhodnutí "hrát" je pak

(ln 2)/2 + (ln 4)/4 + ... + (ln 2k)/ 2k + ... =

= ln 2 (1/2 + 2/4 + ... + k/ 2k + ... ) = 2 ln 2 = ln 4

Tedy střední hodnota užitku při rozhodnutí hrát odpovídá částce 4 Kč.

 

2. Weberův-Fechnerův zákon. Jistěže jak volba prahové hodnoty, tak i sama volba tvaru funkce, tj. předpoklad (1), jsou diskutabilní; podobné úvahy by bylo možno dělat za obecnějších předpokladů, např.

(3)               du/dx = a/xb    (0 < b £ 1)

My však zůstaňme u Bernoulliho logaritmického tvaru funkce užitku (tj. budeme uvažovat hodnotu b = 1). Ten totiž velice úzce koresponduje s obecným Weberovým-Fechnerovým zákonem2) týkajícím se subjektivního vnímání objektivních veličin: podle Weberova-Fechnerova zákona člověk vnímá objektivně měřitelné veličiny logaritmicky (intenzita vjemu je přímo úměrná logaritmu skutečně vnímané veličiny). S Weberovým-Fechnerovým zákonem se lze setkat prakticky jen v textech věnovaných akustice či optice, nicméně jeho formulace i význam přesahují nejen oblast akustiky3) a optiky, nýbrž celou fyziku4); v tomto článku jej budeme aplikovat na vnímání ekonomických kvantit.

             Vyjádření užitku ve tvaru (2) Weberovu-Fechnerovu zákonu odpovídá. Užitek charakterizuje vnímání objektivní hodnoty, jíž je množství peněz (příjem), a tedy obecné formulaci tohoto zákona skutečně odpovídá. A použití Weberova-Fechnerova zákona zde je v souladu s Bernoulliho vysvětlením petrohradského paradoxu.

Dále již nebudeme uvažovat vklad do hry, nýbrž příjem za určité období (v české praxi měsíc). Pro volbu prahové hodnoty se nabízí životní minimum, minimální mzda, odečitatelná nezdaněná část příjmu apod. (tedy v ČR hodnota cca mezi 3 000 a 7 000 Kč). Přes nepochybné metodologické problémy, které s sebou volba referenční prahové hodnoty přináší, je žádoucí věnovat užitku jako logaritmické funkci příjmu pozornost.

       3. Ukazatel charakteristické hodnoty příjmu. Velice často se hovoří o průměrném příjmu, což je sice užitečný ukazatel úhrnné výše příjmů, pro lepší vytvoření představy "normovaný na hlavu", nicméně o středním užitku (o vnímané charakteristické hodnotě příjmu) vypovídá velice málo. Uvažujme proto soubor N lidí s příjmy xi (i = 1, 2, ..., N), jimž odpovídají hodnoty užitku

(4)        ui = ln (xi/x0)

(x0 je referenční prahová hodnota; měřítko pro hodnoty užitku je dáno vztahem (4), tj ve vztahu (2) klademe a = 1).

       Průměrná hodnota užitku pak je

(5)       uavg = N-1 (ln (x1/x0) + ln (x2/x0) + ... + ln (xN/x0)) =

               = N-1 (ln (x1) + ln (x2) + ... + ln (xN)) - ln x0  =

               = ln ((x1 . x2. ... . xN)1/N) - ln x0  =

               = ln ((x1 . x2. ... . xN)1/N/ x0)

Průměrná hodnota užitku tedy odpovídá příjmu

           (x1 . x2 . ... . xN)1/N,

tedy geometrickému průměru příjmů jednotlivců, a to nezávisle na volbě referenční hodnoty x0.

S geometrickým průměrem se ve statistických výkazech prakticky nesetkáváme. Přitom to, jak je vnímána sledovaná kladná veličina, zřejmě vystihuje lépe než aritmetický průměr. Jeho opomíjení může souviset s určitou setrvačností (před érou počítačů byl jeho výpočet zdlouhavý), avšak může být motivováno i určitou obavou z pravdy.

       4. Rovná daň. Velikost daně z příjmu je zpravidla rostoucí (a dokonce konvexní, nikoli ovšem ryze konvexní, neboť bývá po částech lineární) funkcí výše příjmu. Zvláště z některých míst na pravé části politického spektra se ozývající volání po "rovné dani" zpravidla znamená nahradit ji funkcí lineární. Pokud však vezmeme v úvahu logaritmické vnímání množství peněz, tedy i příjmu, pojem "rovná daň"  může nabýt výrazně jiný smysl.

     Předpokládejme, že vztah mezi příjmem x a užitkem u je dán vztahem

(6)        u = ln (x/x0).

Část hrubého příjmu xb tvoří daň xd, zbytek xn je čistým příjmem, xb = xd + xn.

Hrubému příjmu xb odpovídá "hrubý užitek"

(7)        ub = ln (xb/x0).

"Rovné dani" by bylo možno rozumět tak, že vždy by měl být zachován stejný podíl hrubého (ub) a čistého (un) užitku, tj.

(8)        un = a ub           (0 < a < 1)

Čistému užitku un pak odpovídá čistý příjem xn  vyjádřený identitou

(9)        un = ln (xn/x0),

tedy

(10)        xn =  x0 exp (un),

odkud pomocí vztahů (8) a (7) dostaneme

(11)         xn =  xba . x01-a = b xba,

kde hodnota konstanty b = (1/x0)a-1 závisí na zvolené hodnotě a a na prahové hodnotě x0. Velikost daně5) tedy je

(12)        xd =  xb - xn = xb (1 - b xba-1) = xb (1 - (xb/x0)a-1)

Daňová sazba h (podíl xd/xb daně a hrubého příjmu) je tedy dána výrazem

(13)         h = xd/xb  = 1 - (xb/x0)a-1;

V tabulce 1 ve sloupcích (C) až (F) je uvedena výše daňové sazby6) pro vybrané hodnoty koeficientu a v závislosti na podílu xb/x0 (sloupec (A); hodnota v každém následujícím řádku je 21/4-násobkem [tj. zhruba 1,19-násobkem] hodnoty z řádku předchozího). Ve sloupci (B) této tabulky jsou uvedeny hodnoty velikosti hrubého příjmu xb odpovídající relativním hodnotám uvedeným ve sloupci (A) pro referenční hodnotu x0 = 3170 Kč. Sloupce (C) až (F) tabulky 1 odpovídají po řadě hodnotám a = 1,0, 0,95, 0,9, 0,85, 0,8, 0,75.

       Z hodnot uvedených v tabulce 1 je vidět, že navrhovaná daňová sazba h je progresívní (tj. že h je rostoucí funkcí7) hrubého příjmu xb); progresivita daně z příjmu tedy sama o sobě neznamená znevýhodňování lidí s vyššími příjmy, nýbrž je vyjádřením skutečnosti logaritmického vnímání množství peněz, na něž upozornil už r. 1738 D. Bernoulli a které je speciálním případem zákonitostí, jimž se v druhé polovině 19. století věnoval G. T. Fechner.

       Smyslem těchto úvah není přinést hotové konkrétní doporučení pro reformu přímých daní8). Jde o to prostřednictvím určitého zatím poněkud netradičního pohledu ukázat, že problematika spravedlnosti a rovnosti není tak jednoduchá, jak někteří politici a jim sekundující novináři proklamují. Dnešní vývoj v přírodních vědách ukazuje, že pro život a pro fungování celého zemského systému mají stěžejní roli nelinarity. Snaha po linearizaci znamená zploštění skutečnosti. Doba, kdy linearizace byla nutná z výpočtových důvodů, již minula. Dnešní možnosti informační techniky jsou nesmírné a umožňují vystihnout závislosti a zákonitosti, k nimž dříve z praktických důvodů nemohlo být přihlíženo.

      

 

Literatura:

Frank, R.H. - Bernanke, B.S.: Ekonomie. Praha, Grada 2003

Gleick, J.: Chaos. Praha, Ando 1996

Gregory Mankiw, N.: Zásady ekonomie. Praha, Grada 1999.

Horák, Z. - Krupka, F.: Fyzika. Praha, SNTL - Alfa 1976

Hušek, R. - Maňas, M.: Matematické modely v ekonomii. Praha, SNTL 1989 

Nečas, J. (ed.): Aplikovaná matematika. Oborová encyklopedie.

     Praha, SNTL 1977 - 1978 (2 sv.)

Prigogine, I.: The End of Certainity. New York, The Free Press 1997

Prigogine, I. - Stengersová, I.: Řád z chaosu. Praha, MF 2001

Samuelson, P.A.: Foundations of Economic Analysis. New York, Atheneum 1971

Samuelson, P.A. - Nordhaus, W.D.: Economics. New York, McGraw-Hill 1992

Swoboda, H.: Moderní statistika. Praha, Svoboda 1977

 

--------------------------------------------------------------------------------------

 

Poznámky pod čarou

 

1) Užitek jako vyjádření preferencí bývá často chápán jako veličina invariantní vůči jakékoli rostoucí transformaci. V tomto článku se však na užitek aplikují lineární operace (sčítání, násobení reálným číslem), a proto o něm budeme uvažovat jako o veličině invariantní jen vůči násobení kladným reálným číslem, což odpovídá libovůli při volbě jednotky. V tomto smyslu se pojem užitek v souvislosti s petrohradským paradoxem běžně používá ([Hušek (1989)], resp. [Nečas (1978)]). Omezíme se na užitek přiřazený penežním částkám.

 

2) Wilhelm Weber (1804-1891), německý fyzik, blízký spolupracovník C.F. Gausse. Gustav Theodor Fechner (1801-1877), německý fyzik, filozof a psycholog, zakladatel "psychofyziky".

 

3) V akustice platí, že intenzita sluchového vjemu závisí nejen na velikosti (hustotě) energetického toku (jde o energii mechanického vlnění), nýbrž i na frekvenci; ucho je k různým frekvencím různě citlivé. Pro jednoduchost se této závislosti na frekvenci můžeme vyhnout tak, že uvažujeme jen monochromatické vlnění. Fyziologická akustika pak pracuje s vyjádřením závislosti intenzity vjemu I na hustotě W příslušného energetického toku ve tvaru

                     I = K.ln(W/W0),

kde K je konstanta daná volbou měřítka intenzity vjemu (při použití decibelů je K = 10 / ln 10) a W0 je prahová hodnota (práh slyšitelnosti), jež musí být překročena, aby byl podnět vnímán. Ve skutečnosti je tato hodnota závislá na subjektu, avšak pro praxi se přijímá určitý konsensus a definuje obecně přijímaná referenční hodnota (pro frekvenci 1 kHz je W0  = 10-12 Wm-2). Přestože zde dochází k jakési umělé objektivizaci subjektivního vjemu (umožněné zmíněnou dohodou o "definitorické hodnotě" subjektivního parametru), fyziologická akustika se rozvinula a rozvíjí a má četné aplikace.

 

4)  Fyzikální veličinou, jejímž vnímáním (na rozdíl od hustoty energetických toků) se fyzika zpravidla nezabývá, je čas. Nicméně známá zkušenost, že s přibývajícím věkem člověku čas "plyne rychleji", je v kvalitativním souladu s Weberovým-Fechnerovým předpokladem o logaritmickém vnímání objektivních veličin. Prahovou hodnotou zde může být věk, od něhož si člověk začíná pamatovat události (jistě velmi subjektivní, avšak zhruba 2 až 3 roky); s logaritmickým vnímáním času je v souladu i to, že si nikdo nepamatuje na svůj začátek (subjektivně "existuje od svého -¥").

 

5) Platí:

dxd/dxb  = 1 - a(xb/x0)a-1  > 0;

d2xd/dxb2  = (1-a).a.x0-1.(xb/x0)a-2 > 0;

velikost daně je tedy rostoucí konvexní funkcí daňového základu. (Nerovnosti platí, neboť 0<a<1,(xb/x0)a-1<1.)

 

6) Platí:

dh/dxb  = (1-a).x0-1.(xb/x0)a-2 > 0;

d2h/dxb2  = -(1-a).(2-a).x0-2.(xb/x0)a-3 < 0;

velikost daňové sazby je tedy rostoucí konkávní funkcí daňového základu (Nerovnosti platí, neboť 0<a<1.)

 

7) Z předchozích dvou poznámek plyne, že pro uvažovanou daňovou sazbu platí:

d2xd/dxb2  = a.dh/dxb;

skutečnost, že daňová sazba je rostoucí funkcí hrubého příjmu, tedy znamená totéž, jako že velikost daně je jeho konvexní funkcí.

 

První verse poznámky 8

8) Dnes se velikost daně z příjmu (xd) vyjádřuje pomocí konvexní po částech lineární funkce hrubého příjmu (xb). Doučasná daňová sazba h = xd/xb se s výjimkou hodnot pro extrémně nízké a extrémně vysoké příjmy poměrně dobře shoduje se sazbou v tomto článku navrhovanou. V tabulce 2 je porovnána navrhovaná sazba s koeficientem a = 0,907 a prahovou hodnotou x0 = 3170 Kč (sloupec (C))se stávající po částech lineární sazbou daně s příjmu s odečitatelnou částkou rovnou použité prahové hodnotě (sloupec(D)); ve sloupci (B) je výše příjmu, ve sloupci (A) jeho relativní výše vyjádřená násobkem prahové hodnoty.  Sloupec (E) ukazuje, oč se podíl hodnot ze sloupců (C) a (D) liší od 1; kladné hodnoty vyjadřují vyšší hodnotu stávající po částech lineární sazby, záporné pak vyšší hodnoty sazby v tomto článku navrhované, opřené o logaritmické vnímání objektivních hodnot. Je patrno, že se sazby ve značném rozpětí celkem shodují; výraznější odchylka nastává jednak při velmi malých přímech, jednak pak až při příjmech extrémně vysokých (což může být způsobeno i tím, že konstrukce po stávající po částech lineární sazby sazby s extrémně vysokými příjmy příliš nepočítá).

 

Alternativní verse poznámky 8

(pokud bude použita místo předchozí verse, je třeba vynechat tabulku 2)

8) Dnes se velikost daně z příjmu (xd) vyjádřuje pomocí konvexní po částech lineární funkce hrubého příjmu (xb). Současná daňová sazba h = xd/xb se s výjimkou hodnot pro extrémně nízké a extrémně vysoké příjmy poměrně dobře shoduje se sazbou v tomto článku navrhovanou (při vhodné volbě hodnot koeficientu a, při odečitatelné částce 3170 Kč a stejné prahové hodnotě lze ověřit, že při a = 0,907 se při příjmech mezi 10 a 150 tisíci Kč se podíl obou sazeb pohybuje mezi 0,9 a 1,1).

 

 

 

Petersburg paradox and Equal Taxation

Resumé

Daniel Bernoulli's explanation of Petersburg paradox is a special case of general Weber-Fechner's law for area of economy. Till now, this law used to be used outside the area of physics only very rarely.

From social point of view, more attention should be payed to subjective perception of economic quantities. This leads to more often use of geometrical mean. Considering Weber-Fechner's law, we can receive a non-traditional view on so called equal taxation.

 

Keywords

Weber-Fechner's law

Peterburg paradox

Equal taxation

Perception of quantities

Geometrical mean

Characteristic value of income

 

 

 

 

 

 

 

Tabulka 1

      

 

 

Výše hrubého

 

 

 

 

 

 

 

Relativní výše

 

příjmu xb

 

 

 

Daňová

sazba

 

 

hrubého příjmu

 

při refereneční

 

 

 

 

 

 

 

xb/x0

 

hodnotě x0=3170 Kč

a=

1

0,95

0,9

0,85

0,8

0,75

(A)

 

(B)

 

(C)

(D)

(E)

(F)

(G)

(H)

1

 

3170,00

 

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1,189207115

 

3769,79

 

0,00

0,86

1,72

2,57

3,41

4,24

1,414213562

 

4483,06

 

0,00

1,72

3,41

5,07

6,70

8,30

1,681792831

 

5331,28

 

0,00

2,57

5,07

7,50

9,87

12,19

2

 

6340,00

 

0,00

3,41

6,70

9,87

12,94

15,91

2,37841423

 

7539,57

 

0,00

4,24

8,30

12,19

15,91

19,48

2,718281828

 

8616,95

 

0,00

4,88

9,52

13,93

18,13

22,12

2,828427125

 

8966,11

 

0,00

5,07

9,87

14,44

18,77

22,89

3,363585661

 

10662,57

 

0,00

5,88

11,42

16,64

21,54

26,16

4

 

12680,00

 

0,00

6,70

12,94

18,77

24,21

29,29

4,75682846

 

15079,15

 

0,00

7,50

14,44

20,86

26,80

32,29

5,656854249

 

17932,23

 

0,00

8,30

15,91

22,89

29,29

35,16

6,727171322

 

21325,13

 

0,00

9,09

17,35

24,87

31,70

37,91

8

 

25360,00

 

0,00

9,87

18,77

26,80

34,02

40,54

9,51365692

 

30158,29

 

0,00

10,65

20,17

28,67

36,27

43,06

11,3137085

 

35864,46

 

0,00

11,42

21,54

30,50

38,44

45,47

13,45434264

 

42650,27

 

0,00

12,19

22,89

32,29

40,54

47,79

16

 

50720,00

 

0,00

12,94

24,21

34,02

42,57

50,00

19,02731384

 

60316,58

 

0,00

13,70

25,52

35,72

44,52

52,12

22,627417

 

71728,91

 

0,00

14,44

26,80

37,37

46,41

54,15

 

 

 

 

 

 

C20 - Econometric Methods: Single Equation Models; Single Variables - General

E62 - Fiscal Policy; Public Expenditures, Investment, and Finance; Taxation

H24 - Personal Income and Other Nonbusiness Taxes and Subsidies


 

 

Tabulka 2

 

Výše hrubého

 

Diskutovaná

Stávající

Rozdíl

příjmu xb

Relativní výše

daňová sazba

sazba daně

1 a

při refereneční

hrubého příjmu

pro

 

podílu

hodnotě

 

a=0,907

Podíl z příjmu

předchozích

x0=3170 Kč

xb/x0

(%)

(%)

2 sloupců

(B)

(A)

(C)

(D)

(E)

3170

1,000

0,00

0,00

0,00

4000

1,262

2,14

3,11

0,45

5500

1,735

5,00

6,35

0,27

7000

2,208

7,10

8,21

0,16

8500

2,681

8,76

9,41

0,07

10000

3,155

10,13

10,25

0,01

12500

3,943

11,98

12,13

0,01

15000

4,732

13,46

13,44

0,00

17500

5,521

14,69

14,38

-0,02

20000

6,309

15,74

15,08

-0,04

22500

7,098

16,66

15,41

-0,08

25000

7,886

17,47

16,37

-0,06

27500

8,675

18,20

17,15

-0,06

30000

9,464

18,86

17,81

-0,06

35000

11,04

20,02

19,68

-0,02

40000

12,62

21,00

21,22

0,01

45000

14,20

21,86

22,42

0,03

50000

15,77

22,63

23,38

0,03

55000

17,35

23,31

24,16

0,04

60000

18,93

23,93

24,81

0,04

70000

22,08

25,01

25,84

0,03

80000

25,24

25,94

26,61

0,03

90000

28,39

26,74

27,21

0,02

100000

31,55

27,46

27,69

0,01

110000

34,70

28,10

28,08

0,00

120000

37,85

28,68

28,41

-0,01

130000

41,01

29,21

28,68

-0,02

140000

44,16

29,69

28,92

-0,03

150000

47,32

30,14

29,13

-0,03

160000

50,47

30,56

29,31

-0,04

170000

53,63

30,95

29,46

-0,05

1000000

315,5

41,44

31,57

-0,24

10000000

3155

52,73

31,96

-0,39