Několik poznámek k trojúhelníkovým

a dokonalým číslům

Trojúhelníkovými čísly t_k rozumíme ta přirozená[1] čísla, která jsou součtem aritmetické posloupnosti 0 + 1 + 2 + ... + k, tedy t₀ = 0, t₁ = 1, t₂ = 3 atd., obecně platí

(1)                  t_n = n(n + 1) / 2 = 0,5 n² + 0,5 n

Číslo t_n nazveme n-tým trojúhelníkovým číslem (protože t₀ = 0 je definováno, bereme zde pořadová čísla od nuly, 0-tým trojúhelníkovým číslem je 0, prvním 1), popř. trojúhelníkovým číslem s indexem n.

            Máme-li zjistit, zda dané přirozené číslo m je trojúhelníkovým číslem, je třeba rozhodnout, zda kvadratická rovnice

(2)                  x(x + 1)/2 = m

má řešení v oboru přirozených čísel, tedy zda její diskriminant

D = 8m + 1

je druhou mocninou nějakého přirozeného čísla. Kladné řešení výše uvedené kvadratické rovnice pak je

n = (D^1/2 - 1)/2

(čísla D, a tedy i  D^1/2 jsou zřejmě lichá) a m = t_n.

            Dnes, žel, počítání "z hlavy" upadá v zapomnění, a tím člověk přichází o cenný trénink myšlení. Pokud by někdo měl zájem z hlavy počítat druhé mocniny lichých čísel, nabízí se zde metoda, která v řadě případů tento výpočet usnadní, poněvadž při jejím použití se násobí menší čísla. Dané liché číslo r vyjádříme ve tvaru 2x + l, vypočítáme součin m' = x(x+1), ten vynásobíme 4 (násobit z hlavy čtyřmi, tedy dvakrát dvěma, by skutečně neměl být pro fungující mozek problém) a přičteme 1:

r² = 4x(x+1) + 1 = 4x² + 4x + 1,

což skutečně je druhá mocnina výrazu 2x + 1.

            Trojúhelníková čísla t_n tvoří aritmetickou posloupnost druhého stupně, tj. její diference jsou aritmetickou posloupností prvního stupně (tedy aritmetickou posloupností ve smyslu středoškolské matematiky). Z vyjádření (1) n-tého trojúhelníkového čísla polynomem druhého stupně plyne, že limita podílu dvou po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel je rovna 1 (podíl dvou polynomů s týmž koeficientem u nejvyšší mocniny).

            Zajímavou podmnožinu množiny všech trojúhelníkových čísel tvoří sudá dokonalá čísla. Přirozené číslo nazýváme dokonalým, právě když je rovno polovině součtu všech svých dělitelů, což můžeme formulovat tak, že přirozené číslo je dokonalé, právě když je rovno součtu všech svých dělitelů menších než ono samo. Dokonalými čísly jsou např. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Je zřejmé, že všechna tato tři čísla jsou čísly trojúhelníkovými: 6 = 3.4/2 = t₃, 28 = 7.8/2 = t₇, 496 = 31.32/2 = t₃₁.  Indexy v posloupnosti trojúhelníkových čísel jsou ve všech těchto případech Mersennova prvočísla, tedy prvočísla tvaru 2^k - 1. Poznamenejme, že přirozená čísla M_k, jež lze vyjádřit ve tvaru 2^k - 1, kde k je vhodné kladné přirozené číslo, nazýváme Mersennovými čísly,   M_k = 2^k - 1 je k-té Mersennovo číslo. Pokud je Mersennovo číslo prvočíslem, mluvíme o Mersennově prvočísle. Nutnou podmínkou, aby M_k bylo prvočíslem, je, že k musí být prvočíslo. Kdyby k bylo složené, k = ab, pak rozdíl 2^k - 1 = 2^ab - 1 = (2^a)^b - 1 by byl dělitelný např. číslem 2^a - 1. Existují ovšem i složená Mersennova čísla tvaru 2^k - 1, kde k je prvočíslo; pro k < 30 to jsou čísla

                        M₁₁  = 2¹¹−1 = 2047 = 23 _* 89,

                        M₂₃  = 2²³−1 = 8388607 = 47 _* 178481,

                        M₂₉ = 2²⁹-1 = 536870911 = 1103 _* 486737.

            Dosud není známo, zda existuje nějaké liché dokonalé číslo[2]. Mezi sudými dokonalými čísly a Mersennovými prvočísly je úzká souvislost. Platí totiž věta:

Sudé číslo u je dokonalé, právě když je lze vyjádřit ve tvaru

(3)                  u = 2^k-1.M_k,    

kde M_k je Mersennovo prvočíslo (tedy  M_k = 2^k – 1 pro určité přirozené číslo k)[3].

            Výraz (3) můžeme přepsat ve tvaru

u = 2^k (2^k - 1)/2 = t_m,

kde (m = 2^k – 1). Každé sudé dokonalé číslo je tedy trojúhelníkovým číslem (s indexem 2^k - 1). Množina všech sudých dokonalých čísel je tedy podmnožinou množiny všech trojúhelníkových čísel (a je dost možné, že přívlastek "sudé" je ve výše uvedeném tvrzení zbytečný, neboť předpoklad, že lichá dokonalá čísla neexistují, je velmi pravděpodobný). O rozložení množiny dokonalých čísel uvnitř množiny trojúhelníkových čísel, resp. přirozených čísel mnoho nevíme. Zatím není známo, zda je množina všech Mersennových prvočísel konečná či nekonečná spočetná, a tedy ani to není známo ani o sudých dokonalých číslech.

            Na závěr uveďme tabulku počátečních členů posloupnosti Mersennových čísel M_p pro prvočíselné hodnoty p a jim odpovídajících dokonalých čísel.

Mersennova čísla M_p pro prvočíselná p < 30

			Rozklad složeného
p	Mp	Dok. číslo	Mersennova čísla
			na součin
2	3	6	-
3	7	28	-
5	31	496	-
7	127	8 128	-
11	2 047	F11 je složené	23 * 89
13	8 191	33 550 336	-
17	131 071	8 589 869 056	-
19	524 287	137 438 691 328	-
23	8 388 607	F23 je složené	47*178481
29	536 870 911	F 29 je složené	1103*486737

Literatura:

[1] http://www.algoritmy.net/article/156/Dokonale-cislo

[2] http://cs.wikipedia.org/wiki/Dokonal%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo

[3] http://www.math.muni.cz/~fuchs/Efuchs/historie_pdf/4doko.pdf

[4] KŘÍŽEK, M. - SOMER, L. - ŠOLCOVÁ, A.: Kouzlo čísel. Praha, Academia 2009

[5] SIERPIŃSKI, W.: Arytmetyka Teoretyczna. Warszawa, PWN 1968

Praha, červen, červenec 2015

---

[1] V tomto článku považujeme i nulu za přirozené číslo.

[2] Pokud by liché dokonale číslo existovalo, mělo by více než 300 dekadických míst, viz např.

http://www.algoritmy.net/article/156/Dokonale-cislo

[3] Připomeňme, že zde k musí být prvočíslo, přičemž tato podmínka není postačující