Lichá abundantní čísla

J. Nečas

V článku [1] jsme uvedli, že se považuje za velmi pravděpodobné, že neexistují lichá dokonalá čísla. Pojem dokonalého čísla motivuje zavést v závislosti na součtu dělitelů pojmy abundantní a deficientní čísla. Jim je věnován článek [2], kde je zmíněno, že mezi prvními 500 lichými čísly je jediné abundantní. V tomto článku se rozložení lichých abundantních čísel věnujeme podrobněji.

 

Abstract. In article [1] we have stated that it is considered very unlikely that there are odd perfect numbers. The concept of perfect number motivates the introduction of abundant and deficient numbers depending on the sum of divisors. This is the theme of the article [2], where it is mentioned that among the first 500 odd numbers is the only one abundant. In this article, the distribution of odd abundant numbers is discussed in more detail.

Klíčová slova. Počet dělitelů, součet dělitelů, abundabilita, abundantní číslo, dokonalé číslo, deficientní číslo, relace "dělí".

 

V tomto článku navážeme na článek [2], který se věnuje abundantním číslům. Budeme používat i termíny a označení, které tam byly zavedeny, zde zopakujeme jen to nejdůležitější.  Dále zavedeme pojem bezčtvercové přirozené číslo, což je takové přirozené číslo, které není dělitelné druhou mocninou žádného přirozeného čísla. Číslo x je bezčtvercové, právě když je lze rozložit na součin prvočísel mající tvar

x = p1.p2. … . pM    (p1 < p2  < … < pM).                                              (Z)

Položme dále pro x, y ∈ N

𝒫 (x, . ) = {z ∈ P; z ≥ x},

𝒫 (.,  y) = {z ∈ P; z ≤ y}

𝒫 (x,  y) = {z ∈ P; x ≤ z ≤ y}.

Poznamenejme, že pro každé číslo x je první z množin nekonečná, kdežto další dvě konečné.

Přirozené číslo x  > 1 nazveme p-číslem (p ∈ P), právě když p je nejmenší prvočíslo, jímž je číslo x dělitelné.[1] Označme dále Pr (x) množinu všech prvočísel, jimiž je číslo x dělitelné. Jestliže x je p-číslo, pak Pr (x) ⊂ 𝒫 (p, .)[2]

 

Připomeňme, že abundantním číslem nazýváme každé takové nenulové přirozené číslo x, pro součet S(x) jehož dělitelů platí S(x) > 2x. Abundabilitou a(x) čísla x  nazveme podílu S(x) /x, a (x) = S(x)/x. Číslo x je abundantní, právě když a (x) >2. Poznamenejme, že pro všechna n ∈ N je a (n) ≥ 1, přičemž a (n) = 1, právě když n = 1.

Nechť p je prvočíslo. Pak

            a (p) = 1 + p-1

a pro každé přirozené číslo n > 1 platí

            a (pn) ∈ (1 + p-1; 1 + (p-1)-1),

           limn->∞  a (pn)  =  1+ (p-1)-1                                                                                (A)

Nechť p je libovolné prvočíslo a m a n přirozená čísla,  m <  n. Pak

            a (pm)  <  a (pn)

Nechť p a q jsou dvě prvočísla, p   <   q.  Pak

            a (p)  >  a (q) 

a dokonce pro každé přirozené číslo n platí

            a (pn)  >  a (qn) . [3]

Žádné číslo tvaru pn (p ∈ P, n ∈ N) není abundantní.  Pro všechna abundantní čísla x tedy platí Card Pr (x) > 1. [4]

Nechť m > 1 je libovolné liché přirozené číslo (tedy speciálně, může to být liché prvočíslo). Poněvadž ze vztahu (A) plyne, že   limn->∞  a (2n ) =  1, existuje takové  číslo k ∈ N, že  2k .m je abundantní číslo.  Existují tedy sudá abundantní čísla x, pro něž Card Pr (x) = 2

Nechť x ∈ N, x = p1^k1 . p2^k2 . ... . pn^kn.   Pak z multiplikativnosti abundability plyne, že

            a (x) = a (p1^k1) . a (p2^k2)  .  ... . a (pn^kn)                                       (B)

V článku [2] jsme ukázali (mj. i prostřednictvím závěrečné tabulky), že mezi sudými čísly jsou abundantní čísla poměrně hustě rozložena. Jim se již dále věnovat nebudeme a zaměříme svou pozornost na lichá abundantní čísla. Uvedli jsme tam, že nejmenší liché abundantní číslo je 945 = 33.5.7. Abundabilita jednotlivých činitelů je po řadě:

a(33) = (1-3-4) / (1-3-1)  = (80/81)/(2/3) = 40/27 = 1,48148

a(5) = 1,2, a(7) = 1,14286,

tedy

a(945) = 1,48148 . 1,2 . 1,14286 = 2,032

 

 

Supremální abundabilitou prvočísla p nazveme číslo

            sa (p) =  supn a (pn) =   1 + ( p - 1)-1

Funkce sa (p) je klesající funkcí argumentu p.

                               

Tabulka 1 obsahuje abundability a, supremální abundability sa a jejich rozdíly pro prvočísla z množiny 𝒫 (2, 349)

 

 

 

 

 

Tabulka 1

p

a(p)

sa(p)

sa(p) - a(p)

 

p

a(p)

sa(p)

sa(p) - a(p)

2

1,50000

2,00000

0,50000

 

151

1,00662

1,00667

0,00004

3

1,33333

1,50000

0,16667

 

157

1,00637

1,00641

0,00004

5

1,20000

1,25000

0,05000

 

163

1,00613

1,00617

0,00004

7

1,14286

1,16667

0,02381

 

167

1,00599

1,00602

0,00004

11

1,09091

1,10000

0,00909

 

173

1,00578

1,00581

0,00003

13

1,07692

1,08333

0,00641

 

179

1,00559

1,00562

0,00003

17

1,05882

1,06250

0,00368

 

181

1,00552

1,00556

0,00003

19

1,05263

1,05556

0,00292

 

191

1,00524

1,00526

0,00003

23

1,04348

1,04545

0,00198

 

193

1,00518

1,00521

0,00003

29

1,03448

1,03571

0,00123

 

197

1,00508

1,00510

0,00003

31

1,03226

1,03333

0,00108

 

199

1,00503

1,00505

0,00003

37

1,02703

1,02778

0,00075

 

211

1,00474

1,00476

0,00002

41

1,02439

1,02500

0,00061

 

223

1,00448

1,00450

0,00002

43

1,02326

1,02381

0,00055

 

227

1,00441

1,00442

0,00002

47

1,02128

1,02174

0,00046

 

229

1,00437

1,00439

0,00002

53

1,01887

1,01923

0,00036

 

233

1,00429

1,00431

0,00002

59

1,01695

1,01724

0,00029

 

239

1,00418

1,00420

0,00002

61

1,01639

1,01667

0,00027

 

241

1,00415

1,00417

0,00002

67

1,01493

1,01515

0,00023

 

251

1,00398

1,00400

0,00002

71

1,01408

1,01429

0,00020

 

257

1,00389

1,00391

0,00002

73

1,01370

1,01389

0,00019

 

263

1,00380

1,00382

0,00001

79

1,01266

1,01282

0,00016

 

269

1,00372

1,00373

0,00001

83

1,01205

1,01220

0,00015

 

271

1,00369

1,00370

0,00001

89

1,01124

1,01136

0,00013

 

277

1,00361

1,00362

0,00001

97

1,01031

1,01042

0,00011

 

281

1,00356

1,00357

0,00001

101

1,00990

1,01000

0,00010

 

283

1,00353

1,00355

0,00001

103

1,00971

1,00980

0,00010

 

293

1,00341

1,00342

0,00001

107

1,00935

1,00943

0,00009

 

307

1,00326

1,00327

0,00001

109

1,00917

1,00926

0,00008

 

311

1,00322

1,00323

0,00001

113

1,00885

1,00893

0,00008

 

313

1,00319

1,00321

0,00001

127

1,00787

1,00794

0,00006

 

317

1,00315

1,00316

0,00001

131

1,00763

1,00769

0,00006

 

331

1,00302

1,00303

0,00001

137

1,00730

1,00735

0,00005

 

337

1,00297

1,00298

0,00001

139

1,00719

1,00725

0,00005

 

347

1,00288

1,00289

0,00001

149

1,00671

1,00676

0,00005

 

349

1,00287

1,00287

0,00001

 

 

Z tabulky 1 je vidět, že rozdíl  sa (p) - a (p) s rostoucím p velmi rychle klesá.

Bezčtvrecové číslo x s rozkladem (Z) je abundantní, právě když

Σ1n a (pi) > 2

 

Nechť q1, ... qM  jsou navzájem různá prvočísla. K tomu, aby existovalo abundantní číslo, v jehož prvočíselném rozkladu se vyskytují právě tato čísla, je nutné, aby

Σ1M a (qi) ≥ 2

 

Už jsme zmínili, že v prvočíselném rozkladu lichého abundantního čísla musejí být aspoň tři různá prvočísla. Pokud jedním z nich je 3, tak s třemi prvočísly vystačíme. Čísla

945 = 33 . 5 . 7,

1575 = 32 . 52 . 7,

2205 = 32 . 5 . 72

jsou bázickými abundantními čísly.

 

Nejmenší liché bezčtvercové abundantní číslo je

15015 = 3 . 5 .7 . 11 . 13;

je součinem pěti prvočísel.

Bázická abundantní čísla s prvočiniteli 3, 5, 7 a 11 jsou

3465=32.5.7.11

5775=3.52.7.11

8085=3.5.72.11

12705=3.5.7.112

 

Obraťme svou pozornost k lichým p-abundantním číslům, kde p > 3

Nejmenší  abundantní bezčtvercové  5-číslo je

5.7.11.13.17.19.23.29.31 = 33 426 748 355

Pokud chceme najít abundantní 5-číslo s nejmenším možným počtem prvočinitelů, budeme hledat nejkratší konečnou posloupnost po sobě následujících prvočísel (5, 7, ...,  qN) , aby

sa(5) . sa(7) . ... .  sa(qN) ≥ 2.

V tomto případě je qN = 23. Nejmenší (ve smyslu počtu prvků) podmnožina množiny 𝒫 (5, .), v níž leží všechny prvočinitele některého abundantního čísla, je tedy 𝒫(5, 23);  bázickými abundantními čísly jsou např.:

52.72.112.132.172.19.23  ≈  3,16364E+12

53.72.112.132.17.19.23  ≈  9,30483E+11

Nejmenším lichým abundantním číslem, které není dělitelné 3, je 5-číslo

             52.7.11.13.17.19.23.29 = 5 391 411 025

 

Věnujme se dále abundantním 7-číslům. Nejmenší takové bezčtvercové číslo je

7.11. ... .73 ≈  1,35766E+27

Pokud budeme hledat abundantní 7-čísla s nejméně početnou množinou prvočinitelů, budeme postupovat podobně jako v předchozím případě a určíme qN = 61; bázickým abundantním číslem je např.

4,68234E+26 = 73.112.132.172.192.23.29. ... .61

 Více prvočinitelů než toto, avšak méně než uvedené bezčtvercové číslo, mají např. bázická abundantní čísla

72.11 . ... .71 ≈ 1,39269E+26

 72 . 112 . 13 . ... . 67 ≈  2,15769E+25

 

Zastavme se ještě u abundantních 11-čísel, 13-čísel a 15-čísel. Nejmenšími takovými bázickými bezčtvercovými čísly jsou:

11 . 13 .  ... . 149 ≈ 7,10563E+54   v případě 𝒫(11, .)

13 . 17 . ... . 233   ≈ 1,92434E+90  v případě 𝒫(13, .)

17 . 19 . ... . 367   ≈  4,0507E+143 v případě 𝒫(17, .)

 

Nejmenšími podmnožinami množin  𝒫(11, .), 𝒫(13, .), 𝒫(17, .), které obsahují všechny prvočinitele nějakého abundantního čísla, jsou po řadě 𝒫(11, 127), 𝒫(13, 199), 𝒫(17, 337)

Z uvedených příkladů i z tabulky 1 je zřejmé, že hodnoty

M(p) = min {Card Pr(x) | x je abundantní p-číslo; p ∈ P}

M'(p) = min {Card Pr(x) | x je bezčtvercové abundantní p-číslo; p ∈ P}

s rostoucím p poměrně velmi rychle rostou, přičemž pro lichá prvočísla p je  M(p) <  M'(p), přičemž rozdíl M'(p) -  M(p) je poměrně malý. Pro prvočísla do 23 jsou hodnoty uvedeny v tabulce 2. Rozložení lichých abundantních čísel v množině N je velmi řídké (mluvíme-li o abundantních p-číslech, jejich výskyt s rostoucím p velmi prudce klesá). Z tabulky 2 např. vyčteme, že v prvočíselném rozkladu každého abundantního 11-čísla je obsaženo aspoň 27 prvočísel, stačí 27 prvočísel 11, 13, 17, ..., 113, 127 (větší prvočísla mají menší abundabilitu), tedy prvočísla z množiny 𝒫 (11, 127).

 

 

 

 

 

Tabulka 2

p

M(p)

M'(p)

M'(p) - M(p)

2

2

2

0

3

3

5

2

5

5

7

2

7

12

15

3

11

27

31

4

13

41

46

5

17

62

67

5

19

85

91

6

23

115

122

7

 

 

[1]  Nečas, J.: Some Remarks on Trigonal and Perfect Numbers. MS 23, 2015

[2]  Nečas, J.: Abundantní čísla. MS 25, 2017

 

Poslední úprava 7.12.2020 

 

 


[1] 2-číslo je tedy totéž, co sudé číslo.

[2] Symbol ⊂ označuje ostrou inkluzi.

[3] Funkce a (pn) je tedy klesající v argumentu p, avšak rostoucí v argumentu n.  

[4] Card M značí počet prvků množiny M (označení budeme používat jen pro konečné množiny).