Jednotkové n-koule

V tomto článku se budeme věnovat posloupnosti objemů (Lebesgueových měr) Vn jednotkových n-rozměrných koulí[1] (n>0). Pro jednoduchost budeme mluvit o n-koulích, případně stručně jen o koulích.

Budeme používat funkci n!! (nazývejme ji dvojfaktoriál), definovanou na množině N0 všech přirozených (tj. celých nezáporných) čísel indukcí takto:

                0!! = 1!! = 1

                n!! = n.(n - 2)!! pro n>1

Dvojfaktoriál můžeme pomocí (obyčejného) faktoriálu vyjádřit takto:

(1)         n!! = (n/2)! 2n/2  pro n sudé,

(2)         n!! = n!/(m! 2m) pro  n liché   (m = (n - 1)/2).

S použitím těchto vztahů a Stirlingova vzorce aproximujícího n! pro velká n,

(3)         n! ≈ (n/e)n . √(2πn)

dostaneme, že pro dostatečně velká n platí

(4)         n!! ≈ (n/e)n/2 √(πn)    pro n sudé,

(5)         n!! ≈ (n/e)n/2 √(2n)    pro n liché.

S různým tvarem formulí pro liché a sudé n se budeme setkávat i dále; abychom mohli použít vyjádření jediné, položme

(6)         qn = 1               pro n sudé,

(7)         qn = √(2/π)  ≈ 0,797885 pro n liché.

"Stirlingovské" asymptotické vyjádření pro n!!, vyjádřené vztahy (4) a (5), pak můžeme sjednotit do vztahu

(8)         n!! ≈ (n/e)n/2 qn  √(πn).

 

Integrací s použitím matematické indukce lze pro objemy Vn jednotkových n-koulí odvodit vztahy

(9)         Vn = 2n/2 πn/2/n!!  = πn/2/(n/2)!   pro n sudé,

(10)      Vn = 2(n+1)/2 π(n-1)/2/n!! = 2n π(n-1)/2 m!/n!  pro n liché   (m = (n-1)/2).

 

Vyjádření (9) a (10) pro objemy jednotkových koulí, závislá na paritě, lze jednotně vyjádřit ve tvaru

(11)      Vn = 2n/2 πn/2 qn / n!!

Posloupnost Vn  je na množině {1, 2, 3, 4, 5} rostoucí, na množině {5, 6, 7, ... } klesající, platí

                        lim Vn = 0.

Pomocí Stirlingovského vyjádření dvojfaktoriálu lze získat asymptotické vyjádření pro objem n- koule:

(12)      Vn ≈ (2πe/n)n/2/ √(πn).

Toto vyjádření platí nezávisle na paritě proměnné n a nevyskytuje se v něm ani pomocná paritu vyjadřující posloupnost qn. Z vyjádření (12) dostaneme, že podíl dvou po sobě jdoucích členů

Vn+1 / Vn pro dostatečně velká n klesá s odmocninou  z n a blíží se asymptoticky posloupnosti

(13)      Vn+1 / Vn ≈ √(2π/n)

 

Na závěr uveďme tabulku objemů n-koulí pro n < 25:

  

n

Vn

 

n

Vn

 

n

Vn

1

2

 

9

3,298509

 

17

0,140981

2

3,141593

 

10

2,550164

 

18

0,082146

3

4,18879

 

11

1,884104

 

19

0,046622

4

4,934802

 

12

1,335263

 

20

0,025807

5

5,263789

 

13

0,910629

 

21

0,013949

6

5,167713

 

14

0,599265

 

22

0,00737

7

4,724766

 

15

0,381443

 

23

0,003811

8

4,058712

 

16

0,235331

 

24

0,00193

 

Praha, červen 2015


[1] Připouštíme tedy pro n i hodnoty 1 a 2; v těchto případech jde o úsečku délky 2, resp. o jednotkový kruh. Poznamenejme, že někdy se termín koule se ponechává jen pro případ n = 3 a při n > 3 s mluví o nadkoulích.