Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

J. Nečas

 

Abstract. Relatively easy expression of hyperbolic and hyperbolometric functions by exponential function and logarithm (as part of the analysis of a real variable) causes, that these functions not a subject of the special attention. This article introduces some interesting analogies among these functions. It remains in a scope of a real variable, but prepares the ground for introducing a complex analysis.

 

Keywords. Goniometric function, cyclometric function, hyberbolic function, hyperbolometric function, calculation of integrals

 

 

Poměrně snadné vyjádření hyperbolických a hyperbolometrických funkcí pomocí exponenciály , resp. logaritmu (v rámci analýzy reálné proměnné) způsobuje, že se těmto funkcím nevěnuje zvláštní pozornost, čímž je výuka základů matematické analýzy ochucena o různé zajímavé analogie a studentům je tak v této oblasti ztíženo vnímat krásu matematiky. Tento článek se některým opomíjeným vztahům věnuje, a ač zůstává v oboru reálné proměnné, svým způsobem připravuje půdu pro úvod do komplexní analýzy.

 

 

 

0. Sudá a lichá komponenta funkce

 

Nechť f je funkce, jejíž definiční obor je symetrický kolem nuly. Pak definujeme funkce fS a fL:

 

(0.1)     fS(x)= (f(x) + f(-x))/2

 

(0.2)     fL(x)= (f(x) - f(-x))/2

 

Zřejmě platí

 

(0.3)     fS(x)= fS(x) + fL(x)

 

Funkce fS a fL  nazveme po řadě sudou a lichou komponentou funkce f. Sudá, resp. lichá komponenta funkce je vždy sudou, resp. lichou funkcí.

 

Připomeňme, že pokud k dané liché funkci existuje funkce inverzní, tak je lichá. K sudé funkci s nedegenerovaným definičním oborem 𝒟  inverzní funkce neexistuje; abychom ji mohli definovat, omezujeme definiční obor na podmnožinu průniku 𝒟 +.

 

Poznámka. Symbolem ℛ, resp. ℛ+, resp. ℛ-  budeme značit množinu všech reálných, resp. reálných nezáporných čísel, resp. reálných nekladných. Průnik, sjednocení a rozdíl množin budeme značit po řadě , , -.

 

 

1. Hyperbolické funkce

 

Hyperbolické funkce jsou funkce hyperbolický sinus sh x, hyperbolický kosinus ch x, hyperbolický tangens th x a hyperbolický kotangens[1] cth x , které jsou definovány takto[2]:

 

(1.1)     sh x = expL x   (x  ℛ ),

 

(1.2)     ch x = expS x   (x  ℛ ),

 

(1.3)     th x = sh x / ch x   (x  ℛ ),

 

(1.4)     cth x = ch x / sh x   (x  ℛ  - {0} ).

 

Někdy se definují i funkce hyperbolický sekans a kosekans jako převrácené hodnoty po řadě k hyperbolickému kosinu a sinu; jimi se zde zabývat nebudeme; je to v souladu s běžnou praxí u goniometrických funkcí, kde se dnes funkce sekans a kosekans už téměř nepoužívají.

 

Funkce hyperbolický sinus je lichá; je na celém svém definičním oboru ℛ prostá a rostoucí; jejím oborem hodnot je celá množina ℛ .

 

Funkce hyperbolický kosinus je sudá; na svém definičním oboru ℛ tedy není  prostá (je však prostá na ℛ+, kde je rostoucí, i na  ℛ-, kde je klesající) a jejím oborem hodnot je interval 1, +¥).

 

Funkce hyperbolický tangens je lichá; je na celém svém definičním oboru ℛ  prostá a rostoucí; jejím oborem hodnot je  interval (-1, 1).

 

Funkce hyperbolický kotangens je lichá; je na celém svém definičním oboru ℛ  - {0}   prostá a na každém jeho podintervalu klesající; jejím oborem hodnot je množina ℛ  - -1, 1 .

 

 

 

2. Hyperbolometrické funkce

 

Hyperbolometrické funkce jsou funkce argumentsinus hyperbolický ash, argumentkosinus hyperbolický ach, argumenttangens hyperbolický ath a argumentkotangens hyperbolický acth. Funkci ach definujme jako inverzní funkci k funkci ch omezené na množinu ℛ+, funkce ash, ath, acth jako inverzní funkce po řadě k funcím sh, th, cth na celém jejich definičním oboru.

Definiční obory hyperbolometrických funkcí ash, ach, ath, acth  splývají s obory hodnot příslušných hyperbolických funkcí, a tedy jsou po řadě ℛ , 1, +¥), (-1, 1), (-¥, -1) (1 +¥). Obory hodnot hyperbolometrických funkcí ash, ach, ath, acth jsou po řadě ℛ, ℛ+, ℛ,

ℛ  - {0}.

 

Hyperbolometrické funkce lze vyjádřit pomocí logaritmu:

 

(2.1)     ash x = ln (x + √ (x2 + 1))

 

(2.2)     ach x = ln (x + √ (x2 - 1))

 

(2.3)     ath x = ln √ ((1 + x)/(1 - x))

 

(2.4)     acth x = ln √ ((x + 1)/(x - 1))

 

Připomeňme, že funkce ash, ath a acth jsou liché, i když to z jejich analytického vyjádření není na první pohled patrné. Definiční obor funkce ach není symetrický kolem nuly.

 

 

 

3. Součtové vzorce pro hyperbolické funkce

 

V tomto oddíle se omezíme na funkce sh a ch.

 

Součtové vzorce pro hyperbolické funkce jsou analogické součtovým vzorcům pro goniometrické funkce. Jejich odvození (popř. důkazy) jsou snadná z definice.

 

(3.0)     ch2 x - sh2 x = 1

 

(3.1)     sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y

 

(3.2)     ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y

 

(3.3)     sh (2x) = 2 sh x ch x

 

(3.4)     ch (2x) = ch2 x + sh2 x

 

 

Ze vztahů (3.0) a (3.4) lze snadno odvodit vyjádření druhých mocnin funkcí sh a ch:

 

(3.5)     ch2 x = (ch (2x) + 1)/2  

 

(3.6)     sh2 x = (ch (2x) - 1)/2

 

 

 

 

 

 

 

4. Derivace hyperbolických funkcí

 

Uvnitř definičních oborů funkcí platí

 

(4.1)     (sh x)' = ch x

 

(4.2)     (ch x)' = sh x

 

(4.3)     (th x)' = 1 / ch2 x

 

(4.4)     (cth x)' = -1 / sh2 x

 

 

 

5. Derivace hyperbolometrických funkcí

 

Vzorce pro derivace hyperbolometrických funkcí lze snadno odvodit ze vztahů (2.1) až (2.4), avšak stojí za to k nim dojít použitím věty o derivaci inverzní funkce (úvodní kurzy matematické analýzy poskytují celkem málo příležitostí pro její použití).

 

Uvnitř definičních oborů funkcí platí

 

 

(5.1)   (ash x)' = 1/√ (x2 + 1)

 

(5.2)    (ach x)' = 1/√ (x2 - 1)

 

(5.3)    (ath x )'= 1/(1 - x2)

 

(5.4)    (acth x)' = 1/(1 - x2)

 

Na pravých stran ve vzorcích pro derivace funkcí ath a acth může je sice tentýž výraz, ovšem definiční obory funkcí ath a acth jsou disjunktní. Ve všech bodech definičních oborů platí

 

(5.5)    (ath x)' > 0

 

(5.6)    (acth x)' < 0

 

Poznamenejme, že obdobné nerovnosti platí pro cyklometrické funkce arctg a arcotg (jejich definičním oborem je ovšem celá množina ℛ).

 

 

 

6. Primitivní funkce k hyperbolickým funkcím

 

Ze vztahů (4.2) a (4.1) okamžitě plyne:

 

(6.1)   ∫  sh x dx = ch x  + C

 

(6.2)   ∫  ch x dx = sh x  + C 

 

Ze vztahu (1.3), resp. (1.4) použitím substituce t = ch x, resp. t = sh x dostaneme

 

(6.3)   ∫  th x dx = ln ch x  + C    

 

(6.4)   ∫  cth x dx = ln |sh x|   + C   

 

Na pravé straně ve výrazu (6.3) není použita absolutní hodnota, neboť v celém definičním oboru funkce ch platí ch(x) > 0

 

 

 

7. Primitivní funkce k cyklometrickým funkcím

 

Poněvadž cílem tohoto článku je ukázat na obdobné rysy goniometrických a hyperbolických, resp. cyklometrických a hyperbolometrických funkcí a znalost primitivních funkcí k cyklometrickým funkcím nelze u základního kursu matematické analýzy předpokládat, uveďme zde jejich přehled

 

(7.1)  ∫ arctg x dx = x.arctg x - ln √(1 + x2)  + C

 

(7.2)   ∫ arccotg x dx = x.arccotg x + ln √(1 + x2)  + C

 

(7.3)   ∫ arcsin x dx = x arcsin x + √(1 - x2)  + C

 

(7.4)   ∫ arccos x dx = x arccos x - √(1 - x2)  + C

 

 

 

 

8. Primitivní funkce k hyperbolometrickým funkcím

 

(8.1)   ∫ ath x  dx  = x.ath x + ln √(1 - x2)  + C

 

(8.2)   ∫ acth x  dx  = x.ath x - ln √(x2 - 1)  + C

 

(8.3)   ∫ ash x  dx  = x ash x - √(1 + x2)  + C

 

(8.4)   ∫ ach x dx  = x ach x - √(x2 - 1)  + C

 

Analogie skupiny vzorců (7.1) až (7.4) se skupinou (8.1) až (8.4) je patrná na první pohled. Vzorce (7.1) až (7.4) lze odvodit integrací per partes, přičemž jedním faktorem v integrované funkci je 1.

 

 

 

 

 

 

 

9. Výpočet primitivní funkce: hyperbolická substituce

 

Při výpočtu primitivní funkce k funkcím, v nichž se vyskytuje podvýraz √(a2 - x2), se často uplatňuje goniometrická substituce x = a sin z (popř. s ní rovnocenná substituce x = a cos z). Obdobně při výpočtu primitivní funkce k funkcím, v nichž se vyskytuje podvýraz √(a2 + x2), resp. √(x2 - a2), bývá užitečná substituce x = a sh z, resp. x = a ch z.

 

Uvedené podvýrazy lze jednoduchou lineární substitucí převést na obdobné výrazy, v nichž a = 1.

 

Než ukážeme použití těchto substitucí na dvou základních příkladech, připomeňme, že pomocí goniometrické substituce x = a sin z lze snadno vypočítat

 

(9.0)      ∫ √(1 - x2) dx = [x √(1 - x2) + arcsin x]/2

 

 

Příklad 1.

 

Počítejme

 

(9.1)      ∫  √(1 + x2) dx

 

Substituce: x = sh z. Pak √(1 + x2) = ch x. Protože (sh x)' = ch x, budeme za  dx psát ch z dz. Integrál (9.1) jsme tak převedli na

 

(9.2)      ∫ ch2 z dz.

 

Podle (3.5) je ch2 z = (ch (2z) + 1)/2, a tedy (s využitím (3.3))

 

(9.3)      ∫ ch2 z dz = sh (2z)/4 + z/2 = sh z ch z / 2 + z/2 + C

 

Nyní je třeba udělat zpětnou substituci: sh z = x, ch z = √(1 + x2),

z = ash x. Vypočítali jsme tak, že

 

(9.4)      ∫  √(1 + x2) dx = [x √(1 + x2) + ash x]/2.

 

Výsledek je analogický k výsledku integrálu v (9.0).

S použitím vztahu (2.1) odtud dojdeme k vyjádření používanému v příručkách nevyužívajících hyperbolometrické funkce:

 

  ∫  √(1 + x2) dx = [x √(1 + x2) + ln (x + √ (x2 + 1)]/2.

 

 

Příklad 2.

 

Počítejme nyní integrál

 

(9.5)     ∫ √ (x2 - 1) dx

 

Substituce: x = ch z. Pak √(x2 - 1) = sh x. Za dx budeme psát sh z dz. Integrál (9.5) jsme tak převedli na

 

(9.6)      ∫ sh2 z dz

 

Podle (3.6) je sh2 z = (ch (2z) - 1)/2, a tedy (s využitím (3.3))

 

(9.7)      ∫ sh2 z dz = sh (2z)/4 - z/2 = sh z ch z / 2 - z/2 + C .

 

Nyní je třeba udělat zpětnou substituci: ch z = x, sh z = √ (x2 - 1),

z = ach x. Vypočítali jsme tak, že

 

(9.8)      ∫ √ (x2 - 1) = [x √ (x2 - 1) - ach x]/2 + C.

 

I zde je patrná analogie s (9.0). S použitím vztahu (2.2) odtud dojdeme k vyjádření používanému v příručkách nevyužívajících hyperbolometrické funkce:

 

 ∫ √ (x2 - 1) = [x √ (x2 - 1) - ln (x - √(x2 - 1))]/2 + C.

 

 

 

 

 

 

10. Závěr

 

Je škoda, že ve studijních plánech základů matematické analýzy hyperbolické a hyperbolometrické funkce zpravidla chybějí. Jistě, lze se bez nich obejít. Nicméně vnímání jejich obdoby s funkcemi goniometrickými a cyklometrickými přispívá k prožívání vnitřní krásy matematiky a tedy i k rozvíjení matematického myšlení a matematického vnímání světa, a je i dobrou průpravou pro vstup do světa funkcí komplexní proměnné. Mohou přispět k tomu, aby se další lidé připojovali k vyznání Josipa Plemelje "Matematika je mi životní potřebou a uměleckým prožitkem" [1]. A pokud jde o matematickou praxi, hyperbolické a hyperbolometrické substituce se vhodně uplatňují při výpočtu některých primitivních funkcí.

 

 

 

Literatura

 

[1]  NEČAS, J. Životní potřeba a umělecký požitek. MS 21, 2013.

 

 

RNDr. Jiří Nečas

Department of Mathematics

University of Economics

Ekonomická 957

148 00 Prague 4

e-mail: necas@vse.cz

 

 

 

 

 

Květen 2013; poslední úprava 02/08/2018

Určeno pro Mundus Symbolicus 2018



[1] Pokud jméno funkce končí na souhlásku, považujeme je v češtině za maskulinum nezávisle na rodu, které má příslušné slovo v latině

[2] Pro hyperbolické a hyperbolometrické funkce z praktických důvodů používáme stručnější značení než je běžné (pokud se s nimi vůbec pracuje)