Abundabilita a Eulerova funkce

Psáno pro Mundus Symbolicus 2022

První verze

 

1. Úvod. V článcích [2], [4], [6] jsme se věnovali abundantním číslům, tedy číslům, s nimiž  je spojena hojnost – míníme hojnost dělitelů. Tu číselně vyjadřuje abundabilita. Články [3] a [5] jsou věnovány Eulerově funkci, která vyjadřuje počet čísel s daným číslem nesoudělným. Dělitel a číslo soudělné znamenají různé skutečnosti, nicméně intuitivně spolu nějak souvisejí. Této souvislosti se  zde budeme věnovat.

V souladu se zmíněnými články i zde bude

N0 = {0, 1, 2, 3, …} množina všech přirozených čísel (včetně nuly),

N = {1, 2, 3, …} množina všech kladných přirozených čísel,

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …} množina všech prvočísel.

Dále použijeme označení N-1 = N – {1} = {2, 3, 4, ... }.

Symbolem | budeme označovat relaci "dělí" na N0 (tedy x|y, právě když existuje takové q ∈ N0, že y = x.q).

Přirozená čísla x, y nazýváme soudělnými, právě když takové existuje q ∈ N-1, pro něž platí q|x ∧ q|y. V obráceném případě mluvíme o nesoudělných číslech.

Funkce F definovaná na N se nazývá multiplikativní, právě když pro každou dvojici x, y nesoudělných čísel platí F(xy) = F(x).F(y). Je-li F multiplikativní funkce, pak F(1) = 1. Jestliže F a G jsou multiplikativní funkce, pak multiplikativními funkcemi jsou i jejich součin F.G a podíl F/G.

Libovolné číslo x ∈ N můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru[1]

            x = (p1^n1).(p2^n2). … . (pM^nM),                                                              (1)

kde p1, p2, ... ,pM  jsou prvočísla splňující nerovnosti   p1 < p2 < ... < pM. Vyjádření (1) nazýváme prvočíselným rozkladem čísla x. Prvočíselný rozklad čísla 1 je prázdný součin, který je roven 1.

Je-li F multiplikativní funkce, pak pro číslo x vyjádřené ve tvaru (1) platí

            F(x) = F(p1^n1). F(p2^n2). … . F(pM^nM).                                      

 

2. Abundabilita. Součet  všech dělitelů přirozeného čísla x označíme S(x). S je multiplikativní funkce.

Pro každé x ∈ N podíl abu (x) = S(x)/x  nazýváme abundabilitou čísla x. Platí abu(1) = 1, pro každé x ∈ N-1 je abu(x) > 1. Abundabilita je také multiplikativní funkcí.

Číslo x se nazývá abundantní, resp. dokonalé, resp. deficientní, právě když abu(x) > 2, resp.  abu(x) = 2, resp. abu(x) < 2. Uveďme několik triviálních tvrzení k ozřejmění uvedených pojmů. Pokud x|y, pak abu(x) ≤ abu(y). Tedy, je-li x abundantní číslo a x | y , pak y je také abundantní; je-li y deficientní číslo a x | y , pak x je také deficientní; je-li u dokonalé číslo a  x | u, x ≠  u, pak je x deficientní; je-li u dokonalé číslo a  u | y, y ≠  u, pak je x abundantní. Intuitivně tedy abundabilita vyjadřuje bohatost dělitelů.

Abundabilita prvočísla p je

            abu(p) = 1 + 1/p                                                                                          

Abundabilita n-té mocniny prvočísla p je

            abu(p^n) = (1 – 1/pn+1)/(1–1/p)                                                                   

Je zřejmé, že abundabilita n-té mocniny prvočísla p je rostoucí funkcí exponentu n a klesající funkcí argumentu p ( pro n =1 viz též vztah (1))

Limitní abundabilitou prvočísla p rozumíme limitu

     abu∞(p) = limn→∞ abu(pn) = p/(p – 1)  = 1 + 1/(p – 1).                       (2)

Pro libovolné pročíslo p a libovolné přirozené číslo n platí

            abu(p^n) < abu∞(p).                                                                                     

V článku A bylo ukázáno, že obor hodnot funkce abu není ohraničený. Platí tedy

                   inf (abu) = 1, sup (abu) = +∞.                                                                        

 

3. Eulerova funkce. Pro každé přirozené číslo x je definována Eulerova funkce ϕ(x) jako počet přirozených čísel, která jsou menší nebo rovná číslu x a jsou s číslem x nesoudělná. Rovněž Eulerova funkce je multiplikativní. Platí ϕ (1) = 1, pro libovolné prvočíslo p je ϕ(p)  = p – 1, pro libovolné p ∈ P a libovolné n ∈ N pak platí

            ϕ(pn)  = (p – 1) pn-1                                                                                            

Definujme ještě relativní Eulerovu funkci

            Φ(x) =  ϕ(x)/x ,                                                                                            

která je také multiplikativní. Hodnoty relativní Eulerovy funkce závisejí jen na prvočíslech vyskytujících se v rozkladu čísla x; nejsou závislé na tom, v jaké mocnině se tam tato prvočísla vyskytují.

Pro libovolnou (n-tou) mocninu prvočísla p platí

            Φ(pn) = (1 – p-1).                                                                                                   

Pro obor hodnot ℋ(Φ) relativní Eulerovy funkce platí

            sup ℋ(Φ) = 1 , inf ℋ(Φ) = 0                                                                               (3)

(viz [3]).

 

3. Hildegardina funkce. Čísla, která jsou z hlediska dělitelnosti "bohatší", mají větší hodnotu abundability, avšak menší hodnotu relativní Eulerovy funkce (viz tab. 1). Abychom je mohli pohodlněji porovnávat, definujme Hildegardinu[2] funkci jako převrácenou  hodnotu relativní Eulerovy funkce:

            Hi(x) = 1/ Φ(x).                                                                                                  

Hildegardina funkce je zřejmě rovněž multiplikativní; pro libovolnou (n-tou) mocninu prvočísla p tedy platí

            Hi(p) = p/(p – 1) = 1/(1 – (p – 1)-1)                                                              (4)

Porovnáme-li vztahy (2) a (4), vidíme, že platí rovnost

            Hi(p) = abu∞(p),                                                                                                     

a tedy  podle (4) ⨀  pro libovolný exponent n ∈ N je

            abu(p^n) < Hi(p).                                                                                                   

                           

Protože multiplikativní funkce abu i Hi nabývají jen kladných hodnot, pro libovolné číslo x ∈ N-1 platí

            abu(x) < Hi(x).                                                                                                   

 

Ze rovností (12)⨀  plyne

              inf (Hi) = 1, sup (Hi) = +∞.                                                                                

 

4. Hildegardin podíl. Čísla, která jsou z hlediska dělitelnosti bohatší, mají větší hodnoty funkcí inf i Hi. Určitý vztah mezi nimi vyjadřuje nerovnost (18). Pro jednoduchost vyjádření definujme ještě pro každé x ∈ N Hildegardin podíl

             Hq(x)  =  Hi(x) / abu(x).                                                                                  (20)⨀

 

Platí Hq(1) = 1, pro x ∈ N-1 pak z (18) plyne

            Hq(x) > 1.                                                                                                              

Pro každé p ∈ P a n ∈ N platí

Pro libovolné prvočíslo p ∈ P a libovolné n ∈ N platí

            Hq(pn) ≤ 1/(1 – 1/p2),                                                                                  (5)

            supn Hq(pn) = maxn Hq(pn)  = Hq(p) = 1/(1 – 1/p2),

protože

            Hq(pn) = Hi(pn) / abu(pn) ≤ Hi(p) / abu(p) = Hq(p) =

             = (1+1/p – 1))/(1+ 1/p) = 1/(1 – 1/p2),

přičemž abu(pn) je rostoucí funkcí v proměnné n.

Ukážeme, že hodnoty podílu Hq nejsou neomezené, což znamená, že neomezené funkce Hi a abu se chovají svým způsobem podobně. Budeme hledat takové číslo A, které je horní závorou množiny hodnot ℋ(Hq) funkce Hq.  

Hodnoty Hi(x), abu(x) a Hq(x) pro x ≤ 60 jsou v tabulce na konci článku

 

5. Horní omezení Hildegardina podílu.  Nechť x ∈ N s prvočíselným rozkladem (1). Podle (5) je

            Hq(x) ≤ Πj=1M [1/(1 – 1/pj2)].                                               

Protože pro libovolné prvočíslo p je 1/(1 – 1/p2) > 1, platí omezení[3]

            Hq(x) ≤ Πp∈P [1/(1 – 1/p2)].                                                  (6)                                               

Protože pro každé prvočíslo p je Hq(p) = 1/(1 – 1/p2), součinem prvočísel v první mocnině se Hq může hodnotě Πp∈P [1/(1 – 1/p2)] libovolně přiblížit, a tedy platí

            sup Hq(x) = Πp∈P [1/(1 – 1/p2)].                                           (7)

V dalším textu půjde tedy o hledání horního odhadu pro tento nekonečný součin.

Uveďme nejdříve dvě lemmata.

Lemma 1:  Nechť 0 < ϵ ≤ δ < 1/2. Nechť γ = 1/(1 – δ) Pak

            1/(1 – ϵ) < 1 + γ ϵ                                                                                                

 

Důkaz: Využijeme jednak toho, že 1/(1 –  ϵ) je součet nekonečné geometrické řady s prvním členem 1 a kvocientem ϵ, jednak skutečnosti, že funkce 1/(1 – ξ)  je rostoucí v argumentu ξ. Postupně upravujme a omezujme:

            1/(1 – ϵ) = 1 + ϵ + ϵ2 + ϵ3 + ... = 1 + ϵ(1 + ϵ + ϵ2 + ϵ3 + ...) = 

            =1 + ϵ.(1/(1 – ϵ ))  ≤ 1 + ϵ.(1/(1 – δ)) =  1 + γ ϵ.   ■

 

Lemma 2: Nechť { ϵ1, ϵ2, ... } je klesající posloupnost kladných čísel, ϵ1 ≤ δ < 1/2,     γ = 1/(1 – δ). Pak

            Πi=1∞ (1/(1 – ϵi)) ≤ Πi=1∞ (1 + γ ϵi).                                                       

Důkaz.  Aplikujeme lemma 1 na všechny činitele nekonečného součinu.

 

Vraťme se k nekonečnému součinu (7), přičemž použijeme lemma 2, přičemž ϵ = 1/p2 , δ = 1/4; využijeme konkávnosti funkce logaritmus a známou identitu

             Σj=1∞  j-2 = π2/6:                                                                                              (8)

 

            Πp∈P [1/(1 – 1/p2)] = exp(ln Πp∈P [1/(1 – 1/p2)]) =

            = exp( Σp∈P ln[1/(1 – 1/p2)]) ≤ exp( Σp∈P ln[1/(1 +(4/3)/p2)]) ≤

            ≤ exp(Σp∈P (4/3)/p2) ≤  exp((4/3)Σp∈P p-2) ≤ exp((4/3)Σj=2∞  j-2) =

            = exp((4/3)(π2/6 – 1 ) ≈ exp 0,86 ≈ 2,363                                   

Číslo 2,363 je tedy horní závorou množiny ℋ(Hq) hodnot Hildegardina podílu. Ukážeme ještě, jak lze tento odhad ještě zlepšit.

V nekonečném součinu (6) pro vhodně zvolený začátek činitele vynásobíme a výše použitou metodu odhadu použijeme pro zbytek. Zvolme začátek tvořený prvními deseti prvočísly. tedy 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Dostaneme

 

Z toho, co již bylo zmíněno, plyne že

            sup (Hq) = Πp∈P (1 – 1/p2) = Πp∈P∧p≤29 (1 – 1/p2) .  Πp∈P∧p≥31 (1 – 1/p2)

První činitel je konečným součinem 10 činitelů a snadno jej vypočítáme:

            Πp∈P∧p≤29 (1 – 1/p2) ≈ 1,6331.

Protože druhý činitel je větší než 1, platí

             sup (Hq) >  Πp∈P∧p≤29 (1 – 1/p2),

tedy

            sup (Hq) > 1,633

Druhý činitel je nekonečným součinem a jeho hodnota se na první pohled liší jen málo od 1, ten budeme majorizovat dříve uvedeným způsobem. Použijeme opět lemma 2, přičemž nyní bude ϵ1 = 1/312 = 1/961= 0,00104; položme δ = 0,00105, a tedy γ ≈  1,00106 (po zaokrouhlení nahoru). Dostáváme tak

            Πp∈P∧p≥31 (1 – 1/p2) < Πp∈P∧p≥31 (1 + γ / p2) = exp[ln Πp∈P∧p≥31 (1 + γ / p2)] =

            exp[ln Σp∈P∧p≥31 (1 + γ / p2)] = exp[Σp∈P∧p≥31  ln (1 + γ / p2)] ≤

 

            ≤ exp γ Σp∈P∧p≥31 p-2 < exp γ Σj=31∞  j-2 ≈ exp 0,0329 ≈  1,00334;      (9)

 

přičemž jsme preferovali zaokrouhlovaní nahoru. Ve výpočtu (9) jsme řadu se čtverci prvočísel ve jmenovateli majorizovali řadou, která má ve jmenovateli čtverce přirozených čísel; v obou případech počínajíc 31. Z identity   (8)  plyne

            Σj=31∞  j-2 = π2/6 – Σj=130  j-2 ≈ 0,0328,

a tedy

            γ Σj=31∞  j-2 ≈ 1,00106 . 0,0328 < 0,0329

 

Pro sup(Hq) tak dostáváme odhad

            sup(Hq) ≈ 1,6331 . 1,00334 ≈ 1,639,

a tak

            sup(Hq)  ∈ (1,633, 1,639).

 

Neohraničené funkce abundabilita, související s počtem dělitelů, a Hildegardina funkce, vyjadřující inverzním způsobem počet čísel s daným  nesoudělných, se liší poměrně nevýrazně; jejich podíl leží v intervalu ⟨1; 1,64).

 

 

[1]  Jarník, V.: Diferenciální počet II. Praha, Academia 1984

[2]  Nečas, J.: Abundantní čísla. MS 25, 2017

[3]  Nečas, J.: Relativní Eulerova funkce. MS 25, 2017

[4]  Nečas, J.: Lichá abundantní čísla. MS 26, 2018

[5]  Nečas, J: Hodnoty Eulerovy funkce. MS 28, 2020

[6]  Nečas, J.: Neomezená abundabilita. MS 29, 2021

 

Praha 8.4.2022

 

 

 

x

Hi(x)

abu(x)

Hq(x)

x

Hi(x)

abu(x)

Hq(x)

1

1

1

1

31

1,0333

1,0323

1,0010

2

 2,0000

1,5000

1,3333

32

2,0000

1,9688

1,0159

3

1,5000

1,3333

1,1250

33

1,6500

1,4545

1,1344

4

2,0000

1,7500

1,1429

34

2,1250

1,5882

1,3380

5

1,2500

1,2000

1,0417

35

1,4583

1,3714

1,0634

6

3,0000

2,0000

1,5000

36

3,0000

2,5278

1,1868

7

1,1667

1,1429

1,0208

37

1,0278

1,0270

1,0007

8

2,0000

1,8750

1,0667

38

2,1111

1,5789

1,3370

9

1,5000

1,4444

1,0385

39

1,6250

1,4359

1,1317

10

2,5000

1,8000

1,3889

40

2,5000

2,2500

1,1111

11

1,1000

1,0909

1,0083

41

1,0250

1,0244

1,0006

12

3,0000

2,3333

1,2857

42

3,5000

2,2857

1,5313

13

1,0833

1,0769

1,0060

43

1,0238

1,0233

1,0005

14

2,3333

1,7143

1,3611

44

2,2000

1,9091

1,1524

15

1,8750

1,6000

1,1719

45

1,8750

1,7333

1,0817

16

2,0000

1,9375

1,0323

46

2,0909

1,5652

1,3359

17

1,0625

1,0588

1,0035

47

1,0217

1,0213

1,0005

18

3,0000

2,1667

1,3846

48

3,0000

2,5833

1,1613

19

1,0556

1,0526

1,0028

49

1,1667

1,1633

1,0029

20

2,5000

2,1000

1,1905

50

2,5000

1,8600

1,3441

21

1,7500

1,5238

1,1484

51

1,5938

1,4118

1,1289

22

2,2000

1,6364

1,3444

52

2,1667

1,8846

1,1497

23

1,0455

1,0435

1,0019

53

1,0192

1,0189

1,0004

24

3,0000

2,5000

1,2000

54

3,0000

2,2222

1,3500

25

1,2500

1,2400

1,0081

55

1,3750

1,3091

1,0503

26

2,1667

1,6154

1,3413

56

2,3333

2,1429

1,0889

27

1,5000

1,4815

1,0125

57

1,5833

1,4035

1,1281

28

2,3333

2,0000

1,1667

58

2,0714

1,5517

1,3349

29

1,0357

1,0345

1,0012

59

1,0172

1,0169

1,0003

30

3,7500

2,4000

1,5625

60

3,7500

2,8000

1,3393

 

 

 

 

 


[1] Abychom se vyhnuli indexům v exponentech, budeme v souladu s praxí v informatice mocninu ab označovat pomocí infixového zápisu binární operace a^b; i při tomto zápise platí, že operace ^ má vyšší prioritu než běžné aritmetické operace.

[2] Sv. Hildegarda z Bingen (1098-1179), všestranně velmi vzdělaná žena žila v době, kdy se o funkcích neuvažovalo; volbou názvu funkce tuto pozoruhodnou ženu připomínám, vzhledem k časovému odstupu se snad nedostávám do problémů s autorským zákonem a – aspoň doufám – nehrozí nějaká nepříjemná duplicita v názvu.

[3] Základní informaci o nekonečných součinech lze nalézt v knize [1].