Délky v trojúhelníku

Zastavme se u vztahu "neúhlových" kvantitativních charakteristik trojúhelníka, tedy u délek stran (a, b, c), těžnic (t_a,  t_b, t_c) a výšek v_a,  v_b, v_c) a u poloměrů kružnice opsané (r) a vepsané (ρ). A do svých úvah zahrňme i velikost P plochy trojhelníka.

Užitečná algebraická identita:

(I0)                (a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a) =

= 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² - a⁴ - b⁴ - c⁴

Heronův vzorec:

(H)                 P = √ [(a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a)] / 4

Odvození  Heronova  vzorce

Mějme trojúhleník ABC (pokud by nebyl ostroúhlý, nechť největší úhel je při vrcholu  A) , strany proti vrcholům A, B, C  označme, jak je běžné,  a, b, c.  Nechť P je pata výšky na a,  P leží mezi vrcholy B  a  C, označme r, s po řadě délky úseček  PC, PB. Výšku na stranu a označme prostě v. Dvojnásobný obsah Q  = 2P trojúhelníka ABC tedy je

(1)                  Q = a.v

Budeme používat jeho druhou mocninu

(2)                  Q² = a².v²

Z  Pythagorovy věty pro  plyne:

(3)                                v²  = b² - r²

(4)                                v²  = c² - s²

Protože s = a - r, dostaneme ze (4):

(5)                                v²  = c² - a²- r²  + 2ar

Ze vztahů (3) a (5) vyloučíme v a dostaneme lineární rovnici pro r, z níž plyne

(6)                  r = (a² + b² - c²) / (2a)

Dosazením do (3)  dostáváme:

(7)                  v²  = (2a²b² + 2a²c ²+ 2b²c² - a⁴ - b⁴ - c⁴) / (4a²)

a tedy

(8)                  Q² = (2a²b² + 2a²c ²+ 2b²c² - a⁴ - b⁴ - c⁴) /4

Odtud s použitím identity uvedené na začátku článku dostáváme

(9)                  Q = √ [(a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a)] /  2,

odtud po vydělení dvěma dostaneme Heronův vzorec (H)

Trojúhelník určený třemi stranami

Obsah se vypočítá pomocí Heronova vzorce (H).

         v_a =  √ [(a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a)]/(2a) = 2P / a

         t_a = √ (c²/2 + b²/2 -a²/4)

         r = abc / (4P) = abc / √ [(a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a)]

         ρ = 2P / (a + b + c) =  √ [ (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a) / (a + b + c) ]/2

Připojme i vyjádření podílu poloměrů obou kružnic:

         ρ / r = 8 P² / [abc(a + b + c)]  = (a + b - c) (a + c - b) (b + c - a)/(2abc)

Výpočet  zbývajících stran při jiných určujících údajích

Vyjádříme stranu a, k vyjádření ostatních se využije cyklická záměna.

a)  Tři těžnice

         a = √ ((8/9)t_b² + (8/9)t_c² - (4/9)t_a²)

b) Tři výšky

(⨀) a = 2 v_a v_b² v_c² / √ (2 v_a² v_b² v_c⁴  + 2 v_a² v_b⁴ v_c²  + 2 v_a⁴ v_b² v_c² - v_a⁴ v_b⁴ - v_a⁴ v_c⁴ - v_b⁴ v_c⁴)  

Odvození výše uvedeného poněkud strašidelného výrazu

Dány výšky v_a, v_b, v_c

Pomocný trojúhelník, podobný s hledaným:

Jeho strany jsou: 1, B = b/a = v_a/v_b, C = c/a = v_a/v_c

Výška na stranu s délkou 1 v něm je:

w_a =  √ [(1 + B + C) (1 + B - C) (1 + C - B) (B + C - 1)]/2

V tomto tr. má výška na stranu velikost w_a

Koeficient podobnosti je v_a/w_a

Strany hledaného trojúhelníka budou v_a/w_a,  B.v_a/w_a  , C.v_a/w_a

Výsledek: výše uvedený výraz (⨀)

Praha 28.05.2024