Nekonečno v konečném světě
Jiří Nečas
Základním aritmetickým pojmem je přirozené číslo. To vyjadřuje počet prvků nějakého souboru, nějaké množiny. Mezi přirozenými čísly existuje "přirozené" uspořádání O < 1 < 2 < ...; ke každému přirozenému číslu existuje číslo bezprostředně větší, počet přirozených čísel tedy nemůže být konečný – dostáváme se tak k ideji potenciálního nekonečna, které není najednou celé k dispozici, avšak "kde odkudkoli lze jít o krok dále".
Praktická potřeba vedla k rozšiřování množiny všech přirozených čísel; pracujeme s množinou všech celých čísel, s množinou všech racionálních čísel; jakmile mluvíme o všech přirozených, celých či racionálních číslech, opouštíme půdu potenciálního nekonečna a dostáváme se k aktuálnímu nekonečnu.
Každé přirozené číslo je číslem celým, avšak existují celá čísla, která nejsou přirozená (jsou to záporná čísla). Každé celé číslo je číslem racionálním, avšak existují racionální čísla, která nejsou čísly celými (říkává se jim pravé zlomky). Chtělo by se říci, že celých čísel je více než čísel přirozených, že racionálních čísel je více než čísel celých. Co to však znamená "více" mezi nekonečny? Naznačený způsob porovnávání je možný jen tam, kde jedna množina je částí druhé. Na otázku, zda je více bodů na jednotkové úsečce nebo celých čísel už podobným způsobem žádnou odpověď najít nemůžeme. Německý matematik Georg Cantor přišel s myšlenkou na nekonečné množiny použít postup využívající přiřazování, jímž děti a příslušníci některých nám vzdálených civilizací nahrazují počítání při porovnávání konečných souborů. Dvě množiny považujeme za stejně "velké" – stejně mohutné, právě když existuje vzájemně jednoznačné přiřazení mezi jejich prvky. V tomto smyslu množiny všech přirozených čísel, všech přirozených lichých čísel a všech celých čísel jsou stejně mohutné a stejně mohutná je dokonce i množina všech racionálních čísel. To by mohlo svádět k myšlence, že všechny nekonečné množiny jsou stejně mohutné. Georg Cantor ukázal, že tomu tak není, že "známá" a v praxi hojně užívaná množina všech reálných čísel je mohutnější. Poznamenejme ještě, že nekonečné množiny stejně mohutné jako množina všech přirozených čísel se nazývají spočetné.
Motivací pro další rozšiřování číselného oboru je např. to, že pomocí racionálních čísel nelze vyjádřit délku úhlopříčky ve čtverci či v pravidelném pětiúhelníku s jednotkovou stranou; nelze jimi vyjádřit ani délku kružnice s jednotkovým poloměrem. Nejpřirozenější cesta k rozšíření množiny racionálních čísel je taková, že rozšířená množina – množina všech reálných čísel – je tvořena všemi limitními body těch posloupností racionálních čísel, rozdíl mezi jejichž členy stále klesá a blíží se k nule (mezi ně patří jako limity konstantních posloupností i všechna racionální čísla); ty vzájemně jednoznačně korespondují s body na přímce.
Reálná čísla potřebujeme. Bez nich bychom nemohli vyjadřovat délky v geometrii, neměli bychom diferenciální a integrální počet, a tedy ani na nich stojící fyziku a techniku. Zkrátka, bez reálných čísel by byl i náš reálný svět, svět každodenní zkušenosti chudý a smutný. Reálná čísla reálně odrážejí skutečnosti v reálném světě, jsou tedy více než produktem lidské fantazie či lidskou konstrukcí.
Žijeme v době počítačů. V počítačích jsou uloženy (a zpracovávány) nejrůznější texty, vědecké práce, encyklopedie. Můžeme říci, že naše lidské poznání skutečnosti může být uloženo do počítače. Informace je tam kódována tak, že se na obsah paměti můžeme dívat jako na přirozené číslo zapsané v soustavě o základu 256 (popř. o základu 16, avšak s dvojnásobným počtem "cifer"). Přirozených čísel je ovšem spočetně mnoho. To, co jako lidé můžeme běžnými vyjadřovacími prostředky sdělit, se vejde do spočetné množiny! Nespočetné množiny jsou tak mohutné, že jen "nepatrná část", jen určitá spočetná podmnožina (již však sotva lze nějak přijatelně charakterizovat) nespočetné množiny (a myslíme teď především na množinu všech reálných čísel) je našimi prostředky popsatelná, "uchopitelná". Naprostá většina takové množiny zůstává mimo možnosti lidského popisu a sdělování. A přesto by bylo pošetilé "skoro všem" reálným číslům upírat existenci. Poznáváme, že ve světě matematiky je něco nedosažitelného, něco o čem víme, avšak k čemuž plně nemůžeme. Něco, co může připomínat náboženskou, popřípadě uměleckou zkušenost. Nedaleko krásného Bledského jezera stojí pomník velkého slovinského matematika Josipa Plemelja s vytesaným jeho osobním vyznáním: "Matematika je mi životní potřebou a uměleckým prožitkem".
Existence něčeho nepoznatelného, nedosažitelného, neuchopitelného byla pro myšlení 19. a velké části 20. století sotva přijatelná. To se promítlo i do filozofie matematiky, když stěžejní význam deduktivní metody v matematické práci dal vyrůst formalismu jako směru matematického myšlení, v němž se matematika redukuje na odvozování tvrzení ze zvolené soustavy axiomů. Pro formalistu tvrzení: "Množina M je nespočetná" neznamená současnou existenci nespočetného množství nějakých objektů, nýbrž jde jen o abstraktní atribut jednoho objektu – dané množiny. Matematika je tak pro formalistu bohatou hrou s přesnými pravidly. Ani predikát "existuje" pro něho neznamená nějakou reálnou existenci, avšak je jen součástí oné hluboce sofistikované hry. Formalismus byl pro matematiky lákavým programem, doplněným představou přenechat aplikace ostatním: přírodovědcům, technikům, ekonomům atd. Škrt přes tyto naděje udělal brněnský rodák, snad největší matematický logik 20. století, Kurt Gödel; dokázal, že program formalistů nestačí už na aritmetiku, neboť každá soustava axiomů popisující aritmetiku, pokud je bezesporná, je nutně neúplná. Aritmetiku tedy nelze plně axiomatizovat; aritmetika je přece jen cosi více než soubor logických důsledků konečného souboru axiómů.
Gödelovy výsledky otevřely dveře matematickému platonismu, znamenající přiznání objektivní existence matematickým objektům – mimo naši lidskou mysl i mimo materiální svět. Kromě toho, co lze popsat, co může být výsledkem vědeckého zkoumání, reálně existuje také něco mimo smysly dosažitelný svět; to nás vede k pokoře a skromnosti, avšak i k odpovědnému poznávání s osobním zaujetím. Je dobré a žádoucí existenci toho, co nás přesahuje, hluboce prožít a při tom si uvědomit, jakými cestami se při poznávání světa ubírat. Tedy na jedné straně příjmout existenci "neuchopitelných" skutečností, na druhé straně hledat adekvátní cesty ke skutečnostem "uchopitelným". První důraz se v matematice promítá do platonismu, druhý do konstruktivismu. Konstruktivistické myšlení úzce souvisí s teorií počítačů. Můžeme se ptát, jaké jsou principiální možnosti těchto strojů. "Pravidla hry", podle nichž spolehlivě pracují počítače, a "pravidla hry" formalistů mají spolu cosi společného. Je známo, že se program někdy "zacyklí", tedy neskončí. Bylo by dobré umět rozpoznat, zda pro daný algoritmus existuje riziko takovéhoto zacyklení, či zda vždy končí zastavením. Představme si proto, že máme algoritmus (program), který toto rozpoznávání vykonává ("ANO"= vždy se zastaví, "NE"=pro některé vstupní údaje se nezastaví). Šlo by jej "poupravit" tak, aby místo odpovědi "ANO", se zacyklil; odpověď "NE" bychom nechali beze změny. A teď jej necháme, aby se vyjádřil sám o sobě. Zacyklí se, právě když by měl o sobě odpovědět, že se nezacyklí! Problém zastavení tedy není algoritmicky rozhodnutelný. Existují dobře formulovatelné algoritmicky nerozhodnutelné problémy. V konstruktivistické matematice tak neplatí ono klasické "tertia non datur"; zde není pravda, že by vždy platilo buď "ANO", nebo "NE". Odpověď není "zakódována" v nějaké statické odpovědi, nýbrž je výsledkem procesu, který nemusí skončit (avšak skutečnost, že trvá třeba nesmírně dlouho, neznamená, že nikdy neskončí). Ona třetí možnost – ani "ano", ani "ne", není s klasickými dvěma rovnocenná, její ověření by znamenalo uskutečnění nekonečně dlouhého procesu, což není možné,
Otvírají se nám dva pohledy do matematické reality: platónský a konstruktivistický. Sotva rozhodneme, který je správnější, podobně jako ve fyzice musíme přijmout "logicky nepřijatelnou" skutečnost, že fyzikální realita má jak vlnovou, tak částicovou povahu. Poznáváme, vytváříme představy, modely a teorie, které neustále zdokonalujeme a upřesňujeme, avšak stále je před námi mnohé, co asi nikdy nepochopíme. Pro platónský přístup je charakteristická aktuálnost, základním slovesem je být, pro konstruktivistický potenciálnost se slovesem stávat se. Logika platónského přístupu nám bude asi vždy bližší, jak dokazuje i porovnání role právě zmíněných sloves v indoevropských jazycích. Snad jen užívání německého slovesa werden signalizuje určitý prvek potenciálnosti. (Etnografové poukazují na od našeho výrazně rozdílné myšlení severoamerických indiánů Hopi, u nichž centrální roli má potenciálnost, stávání se, proces, což se projevuje i v jejich jazyce.)
Konstruktivistický přístup naznačuje, že tvůrčí duševní činností můžeme stále hlouběji pronikat do dosažitelné, "uchopitelné" části světa, který nás přesahuje; můžeme stále více poznávat a poznání užívat k prohlubování a zdokonalování lidského bytí na tomto světě. Platónský přístup pak svědčí o existenci oblastí, kam rozumem plně nepronikneme. Můžeme si je jen vnitřně uvědomovat, třeba formou mystického, náboženského nebo uměleckého prožitku, který je dotekem s realitou, skutečnou, objektivně existující, avšak pro nás v tomto pozemském bytí nedosažitelnou.
Jiří Nečas
Literatura:
Barrow, J.D.: Pí na nebesích. Praha, MF (Kolumbus) 2002
Davis, P.J. – Hersch: R.: The Mathematical experience. Boston, Birkenhäuser 1981