Určeno pro MUNDUS SYMBOLICUS 29 (2021)

 

Některé méně obvyklé poziční číselné soustavy

 

1. Věta o dělení se zbytkem

Zápis celých čísel v pozičních číselných soustavách se opírá o následující větu o dělení se zbytkem:

Věta 1. Nechť n a g  jsou celá čísla, g ≥ 2. Pak existuje právě jedna taková dvojice celých čísel q, r , že

            n = q.g + r                                                                                                         (1)  

a

            r ∈  {0, 1, … g 1}.                                                                                          (2)

                                                                                       

Přitom platí:

Je-li n > 0, pak

             n > q ≥ 0                                                                                                           (3)

Pro n = 0 je

            q = r =0                                                                                                             (4)

Pro n < 0 platí

           |n| ≥ |q| ≥ 1                                                                                                       (5)

Pomocí rovnosti (1) a podmínky (2) definujeme dvě funkce div a rem (celočíselný podíl, resp. zbytek při dělení) dvou celočíselných proměnných n, g pro libovolné n a pro g ≥ 2:

            q = div(n, g),                                                                                                     (6)

            r = rem(n, g)                                                                                                    (7)

K zápisu nezáporných celých čísel v klasické poziční číselné soustavě o základu g (v g-adické číselné soustavě) potřebujeme g číslic vyjadřujících čísla 0, 1, …, g – 1.  Každé nezáporné celé číslo n  můžeme vyjádřit ve tvaru konečného součtu

            n = Σi=0k ai gi,                                                                                                    (8)

kde ak ∈ {0, 1, …,  g – 1} jsou číslice, číslo n zapisujeme pomocí (k+1)-prvkové posloupnosti číslic.

            n = ak ak-1 a1 a0                                                                                                                                        (9)

Běžně pro n > 0 přidáváme požadavek, aby koeficient ak  u nejvyšší mocniny základu g byl nenulový; pak je vyjádření čísla n v uvedeném tvaru jednoznačné a říkáme, že n je (k+1)­-ciferné číslo. K vyjádření čísla 0 požadavek nenulovosti koeficientu u nejvyšší mocniny musíme vynechat; nulu zapisujeme jednoprvkovou posloupností 0.

Uvedeme nyní algoritmus pro určení číslic c0, c1, …, ck  kterými je vyjádřeno kladné číslo n v soustavě o základu g. Jednotlivé číslice zápisu získáme opakovaným použitím věty o dělení celých čísel.

Algoritmus 1.

Položme i = 0, q = n.

L:

        r    :=    rem(q, g)

        q    :=    div(q, g)

        ai   :=   r

        Jestliže q ≠  0, pak

                 i := i + 1

                přejdeme zpět k návěští L

       jinak

                k := i

               výstup ak ak-1a1 a0

            konec větvení jestliže

            konec algoritmu       

 

Nerovnost (3) zaručuje, že se algoritmus zastaví.

K zápisu záporných čísel rozšiřujeme počet použitých symbolů o "minus", je-li n < 0, zapíšeme výše uvedeným způsobem číslo |n| a před ně přidáme symbol "-".  Znamená to však, že k takto tvořenému zápisu celých čísel potřebujeme  n+1 symbolů.

V dodatku 1 ukážeme, co by se stalo, kdybychom popsaný algoritmus pro vyjádření kladných čísel v klasické poziční soustavě použili pro čísla záporná, pro něž nerovnost (3) nemusí platit.

Vraťme se však k zápisu celých nezáporných čísel.  V soustavě o základu g  existuje g jednociferných čísel, g2g dvojciferných čísel, …,  gkgk-1  = (g – 1) gk-1   k-ciferných čísel, … Kromě jednociferných čísel na prvním místě nemůže být nula, tedy zatímco na ostatních místech může být jedna z g různých číslic, na prvním místě jen jedna z g – 1 číslic; první číslice tedy je nositelkou menšího množství informace než číslice ostatní. Dvojkový zápis proto začíná vždy číslicí 1, která se tak stává jen informaci neobsahujícím příznakem začátku zápisu čísla[1].

Základ g = 10 se promítá do běžného jazyka, číslovky jsou tvořeny opírajíce se o něj. Počítače pracují se základem 2, k čitelné reprezentaci  počítačových zápisů se používají základy 8 = 23 , popřípadě 16 = 24. V určitých speciálních případech se lze setkat i s jinými základy číselných soustav (např. 12, 20, 60).  

Zápis čísel v pozičních soustavách je jedním z největších objevů v dějinách lidstva. K prioritě desítkové soustavy lze mít výhrady, nicméně jsme si na ni zvykli, slouží nám a promítá se nejen do používaných jazyků, nýbrž jejich prostřednictvím i do celé kultury. Zmínili jsme se o drobných "vadách na kráse", které popsaný systém zápisu má: Pro zápis záporných čísel potřebuje přidaný další znak a na první číslicí je kladeno zmíněné omezení. Naznačíme, jak by je bylo možno odstranit (nikoli zároveň obě). V žádném případě nepůjde o snahu měnit náš zaběhaný systém, nýbrž jen o určitou hru přinášející snad pro někoho nový vhled do světa celých čísel. Aby se kvůli obecnosti neztrácely myšlenky, nebudeme už dále uvažovat obecný základ g, nýbrž se zaměříme jen na dvě hodnoty základu, a to na tradiční hodnou 10 a na netradiční a neprávem opomíjenou hodnotu 3.

 

2. Beznulová desítková soustava

Seznámíme se teď s beznulovou desítkovou soustavou, v níž pro každé celé kladné číslo existuje jednoznačné vyjádření a na každé pozici může být jedna z deseti číslic. V dalším textu článku budeme pracovat s některými variantami věty o dělení se zbytkem, přičemž v oddílech 2, 4 a 5 se zaměříme jen vždy na jednu konkrétní hodnotu základu g.  V tomto oddíle bude g = 10.

Věta 2. Nechť n je kladné celé číslo. Pak existují celá čísla q a r taková, že

            n  = q.10 + r                                                                                                       (10)

a

            r {1, … , 10}                                                                                                    (11)

Vztahem (10) a podmínkou (11)  jsou čísla q a r určena jednoznačně.

I zde platí nerovnost (3), která zajišťuje, že algoritmus pro nalezení zápisu čísla na základě upravené věty o dělení se zbytkem po konečném počtu kroků skončí.

Z věty 2 plyne, že každé kladné celé číslo n můžeme jednoznačně vyjádřit (aniž bychom kladli nějakou doplňující podmínku) součtem[2]

            n = Σi=1k ai-1 10i-1,                                                                                              (12)

kde ai ∈ {1, 2, …,10} (i = 0, …, k) jsou číslice, pomocí nichž číslo n ve tvaru (9) zapíšeme V tomto vyjádření nepoužíváme symbol pro nulu, ovšem potřebujeme symbol pro 10; v souladu s praxí v oblasti IT použijeme znak A. To, že se zde obejdeme bez nuly, snad potěší všechny ty, kdo nule nechtějí dopřát místo mezi přirozenými čísly.

K určení číslic použijeme opakovaně větu 2, což je mírně upravená věta 1 o dělení se zbytkem; úprava spočívá v tom, že u násobků čísla10 bude nebude zbytek nulový, nýbrž rovný číslu 10.

 

 

 

 

Algoritmus 2.

Položme i = 0, q = n.

L:

        r    :=    rem(q, g)

        q    :=    div(q, g

        Jestliže r = 0

                r := 10

                q := q – 1

         konec větve jestliže         

         ai   :=   r

        Jestliže q > 0

                 i := i + 1

                přejdeme zpět k návěští L

       jinak

                 k := i

                výstup ak ak-1a1 a0

            konec větvení jestliže       

            konec algoritmu       

 

Protože q se po každém cyklu zmenší a při tom je nezáporné, je zajištěno, že se algoritmus zastaví.

Jak vypadá zápis čísel v beznulové desítkové soustavě, demonstruje tabulka 1. Platí: Ve vyjádření daného čísla v klasické desítkové soustavě se nevyskytuje 0, právě když se v jeho vyjádření v beznulové desítkové soustavě nevyskytuje A; v tomto případě jsou obě vyjádření stejná.  V beznulové desítkové soustavě je 10 jednociferných čísel, 100 = 102 dvojciferných, …,  10j čísel j-ciferných.

V beznulové dekadické soustavě můžeme vyjádřit ovšem i nulu, která jako kardinální číslo prázdné (tedy konečné) množiny mezi přirozená čísla patří. Jejím vyjádřením je prázdná posloupnost (v praxi ovšem k jejímu zápisu potřebujeme nějaký metaznak, např. ∅ nebo {}). Výše uvedené tvrzení o počtu k-ciferných čísel můžeme rozšířit i pro k = 0; existuje jedno nulciferné číslo, a to 0.  Číslo k ve vyjádření (12)  vyjadřuje počet číslic[3] daného čísla, při k = 0 je horní mez menší než dolní mez, jde tedy o prázdný součet, jehož hodnota je 0.

K zápisu záporných čísel v beznulové desítkové soustavě bychom  jako v klasické soustavě symbol mohli použít symbol -, nicméně soustava jako taková má své kouzlo pro nezáporná celá čísla (včetně prázdné posloupnosti znaků pro nulu). Samozřejmě i zde lze vytvořit algoritmy pro aritmetické operace. Velkým nedostatkem této soustavy ovšem je, že ač jde o soustavu desítkovou, zápis některých čísel zde nekoresponduje s číslovkami v jazyce. A tak její místo zřejmě zůstane ve světě akademických úvah.

 

3. Soustavy se zápornými číslicemi

Věta o dělení se zbytkem je základem modulární aritmetiky. Zbytek vyjadřuje třídu modulo g, do níž číslo n patří. Algoritmus pro zápis čísel v poziční soustavě, uvedený v předchozích částech článku, však byl použitelný jen pro nezáporná čísla. Uvedeme nyní onu stěžejní větu teorie dělitelnosti v poněkud pozměněném tvaru tak, aby na jejím základě bylo možno vytvořit číselnou soustavu umožňující zápis libovolného celého čísla (aniž by bylo třeba kromě číslic užívat nějaký dodatečný znak).

Věta 3.  Nechť n, g a f  jsou celá čísla, g ≥ 3, 1 ≤ fg - 2. Pak existují právě jedna taková dvojice celých čísel q, r , že

            n = q.g + r                                                                                                           (13)

a

            r ∈  {-g + f + 1, …, -1, 0, 1, …, f}                                                                      (14)

                                                                                 -       

Přitom platí:

Je-li n ≠ 0, pak

             |n| > |q| ;                                                                                                             (15)

pro n = 0 je q = r = 0.

 

Poziční číselná soustava o základu g, v níž existují číslice obou znamének, umožňuje zapisovat všechna celá čísla jen pomocí g číslic (tedy bez symbolu "minus" či nějakého jiného doplňujícího symbolu), přičemž číslice odpovídají možným hodnotám "zbytku" r ve vztahu (14). Zvláštní pozornost zaslouží soustavy "symetrické kolem nuly", tedy takové, u nichž s každou číslicí a je k dispozici i číslice pro -a. Protože popisované soustavy obsahují číslici pro nulu, musejí mít lichý počet číslic, a tedy být jejich základem musí být liché číslo.

 


 

Tabulka 1

Klasická

Beznulová

Klasická

Beznulová

0

{}

120

11A

1

1

 

121

121

2

2

190

18A

3

3

200

19A

9

9

201

1A1

10

A

209

1A9

11

11

210

1AA

12

12

211

211

19

19

890

88A

20

1A

900

89A

21

21

901

8A1

30

2A

902

8A2

40

3A

910

8AA

80

7A

911

911

90

8A

990

98A

99

99

991

991

100

9A

999

999

101

A1

1000

99A

102

A2

1001

9A1

103

A3

1009

9A9

104

A4

1010

9AA

105

A5

1011

A11

106

A6

1090

A8A

107

A7

1099

A99

108

A8

1100

A9A

109

A9

1101

AA1

110

AA

1109

AA9

111

111

1110

AAA

119

119

1111

1111

 

 

 


 

 

Soustavy s lichým základem bývají zmiňovány jen velice sporadicky. Lze si klást otázku, proč tomu tak je. Sudý základ umožňuje podle poslední číslice určit paritu zapsaného čísla, to je jistě užitečná vlastnost. Na neoblíbenosti lichých číselných základů se může podílet i negativní zabarvení slova "lichý" v jazyce (u polského "nie parzysty" toto zabarvení není, naproti tomu u anglického "odd" je hodně výrazné). Nicméně je pravda, že číslo 3 má v lidských představách mezi lichými čísly poněkud mimořádné postavení (Sv. Trojice, poloha tuhého tělesa v prostoru je určena 3 body). Trojkové soustavě s číslicemi obou znamének se budeme věnovat v následujícím oddíle; poněvadž je symetrická vůči kladným a záporným číslům, nazveme ji symetrickou trojkovou soustavou.

 

4. Symetrická trojková soustava

Zápis čísla v symetrické trojkové soustavě se opírá o větu 3, kde g = 3 a f = 1. Odtud pak plyne:

Každé celé číslo n ≠ 0 lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru

            n  =  Σi=0k  ci 3i,                                                                                                    (16)

kde ck ∈ {-1, 1}, ci ∈ {-1, 0, 1} pro i ∈ {0, …, k – 1}.

Pro čísla -1, 0, 1 používejme jako číslice dále symboly po řadě  n, o, p (symboly jsou voleny tak, aby vzhled zápisu byl homogenní; jde o písmena následující bezprostředně po sobě v abecedě, přičemž o připomíná nulu a n a p jsou počáteční písmena slov negativní a pozitivní). Vyjádření nenulového čísla n v symetrické trojkové soustavě pak bude

          ckck-1c1c0                                                                                                                  (17) 

Číslice ci opět získáme opakovaným použitím věty 3 pro g = 3 a f = 1:

Nechť n je celé číslo. Pak existují celá čísla q a r taková, že

            n  = q.3 + r                                                                                                            (18)

a

            r {-1, 0, 1}                                                                                                          (19)

Vztahem (18) a podmínkou (19)  jsou čísla q a r určena jednoznačně, přičemž pro n ≠ 0 platí  |n| > |q|.

Vztah (15) zaručuje, že proces po konečném počtu kroků skončí.

Nulu zapíšeme o. Číslo n je kladné, resp. záporné, pokud ck = n, resp. ck = p. Číslo zapsané v symetrické trojkové soustavě je liché, resp. sudé, právě když součet je cifer je lichý, resp. sudý. V tabulce 2 jsou příklady zápisu čísel v této soustavě, z tabulky je patrno, že od zápisu daného čísla k číslu opačnému přejdeme záměnou cifer n a p. V symetrické trojkové soustavě platí, že součin jednociferných čísel je jednociferný (tab. 3), což zjednodušuje konstrukci algoritmu pro násobení čísel v této soustavě. V dodatku 2 si ukážeme, že trojka je ovšem zajímavá i jako základ klasické poziční soustavy.

Příklad. Pomocí opakovaného využití věty 3 převedeme číslo -60 do symetrické trojkové soustavy:  

-60    =    -20.3 + 0

 -20   =   -7 . 3  + 1

   -7   =   -2 . 3  -  1

   -2   =   -1 .  3  + 1

   -1   =     0  .  3  - 1      (q = 0  => konec výpočtu)

Vyjádření čísla -60 v symetrické trojkové soustavě je    npnpo

Čísla v symetrické trojkové soustavy lze technicky realizovat pomocí trichotomických stavů (zmagnetováno jedním směrem – nezmagnetováno -, zmagnetováno obráceným směrem, resp. záporné napětí - bez napětí – kladné napětí). Vývoj počítačů zvolil cestu binárního kódování. Možná je to škoda. Trojkový zápis čísel rozhodně pozornost zaslouží a my se k němu v závěru ještě vrátíme.

 

Tabulka 2 je na následující stránce.

 

Tabulka 3

x

n

o

p

n

p

o

n

o

o

o

o

p

n

o

p

 


Tabulka 2

 

v symet.

 

v symet.

desítkově

trojk. soust.

desítkově

trojk. soust.

0

o

0

n

1

p

-1

n

2

pn

-2

np

3

po

-3

no

4

pp

-4

nn

5

pnn

-5

npp

6

pno

-6

npo

7

pnp

-7

npn

8

pon

-8

nop

9

poo

-9

noo

10

pop

-10

non

11

ppn

-11

nnp

12

ppo

-12

nno

13

ppp

-13

nnn

14

pnnn

-14

nppp

15

pnno

-15

nppo

16

pnnp

-16

nppn

17

pnon

-17

npop

18

pnoo

-18

npoo

19

pnop

-19

npon

20

pnpn

-20

npnp

21

pnpo

-21

npno

22

pnpp

-22

npnn

23

ponn

-23

nopp

24

pono

-24

nopo

25

ponp

-25

nopn

26

poon

-26

noon

27

pooo

-27

nooo

28

poop

-28

noon

29

popn

-29

nonp

30

popo

-30

nono

64

pnpop

-64

npnon

100

ppnop

-100

nnpon

 

 

 


 

 

5. Posunutá desítková soustava

Na závěr uveďme příklad desítkové soustavy používající číslice pro -1 až 8; pro -1 budeme používat symbol N. Nazvěme ji posunutou desítkovou soustavou. Zápis čísla, které v klasické desítkové soustavě neobsahuje číslici 9, je v posunuté desítkové soustavě stejný.

Uvedeme nyní jeden příklad převodu z klasické do posunuté desítkové soustavy, využívající opakované použití věty 3. Na příklad se odvoláme i v dodatku 1.

Příklad. Máme převést číslo -894 do posunuté dvojkové soustavy.

-894 = -90 . 10 + 6

 -90  = -9 . 10 + 0

  -9 = - 1 . 10 + 1

  -1 =   0 . 10  - 1

Zápis čísla -894 v posunuté desítkové soustavě je N106

 

 Různé příklady zápisu čísel v posunuté desítkové soustavě jsou v tabulce 4.

 

6. Dodatek 1: Doplňkový kód

V různých měřidlech (elektroměry, plynoměry, vodoměry, ukazatele ujeté vzdálenosti ve vozidlech aj.) se setkáváme s tím, že zobrazujeme čísla na displeji s určitým omezeným počtem míst, např. na pětimístném displeji můžeme zobrazit kladná celá čísla od 0 (zapsaná 00000) do 99999. Pokud by se takové počítadlo používalo dále, po připočtení 1 hodnotě 99999 by se ukázala hodnota 0. Tato počítadla tak vlastně nepracují s aritmetikou v oboru integrity celých čísel, nýbrž v okruhu zbytkových tříd podle modulu 105. Oněch 105 zbytkových tříd lze interpretovat různě; můžeme např. chtít zobrazovat čísla obou znamének, která jsou v absolutní hodnotě menší než 50000; čísla zapsaná jako 50001 až 99999 pak budeme interpretovat jako s nimi  kongruentní (mod 105) záporná čísla z intervalu ⟨-49999; -1⟩.[4] Při této konvenci bude číslo -894 zapsáno jako -894 + 100000 = 99106. Tento zápis záporných čísel nazýváme doplňkovým kódem; používá se běžně v počítačích (při použití dvojkové soustavy) k zápisu celých čísel (se znaménkem i bez znaménka).

 

Algoritmus 1 slouží pro získání zápisu kladných čísel. Podívejme se, jak bude pracovat, bude-li mít na vstupu záporné číslo; použijeme shodně s oddílem 4 opět číslo -894. Základ soustavy g = 10.

 

n = -894.

i = 0, q = -894

L: r :=  rem(-894, 10)    r = 6

   q :=  div(-894, 10)    q = -90 ≠ 0

   a0  =  6

   i  = 1

L: r :=  rem(-90, 10)     r = 0

   q :=  div(-90, 10)     q = -9 ≠ 0

   a1 =  0

   i  = 2

L: r :=  rem(-9, 10)     r = 1

   q :=  div(-9, 10)     q = -1 ≠ 0

   a2 =  1

   i  = 3

L: r :=  rem(-1, 10)     r = 9

   q :=  div(-1, 10)     q = -1 ≠ 0

   a3 =  9

   i  = 4

L: r :=  rem(-1, 10)     r = 9

   q :=  div(-1, 10)     q = -1 ≠ 0

   a4 =  9

   i  =  5

atd.


 

Tabulka 4

0

0

0

0

1

1

-1

N

2

2

-2

N8

8

8

-8

N2

9

1N

-9

N1

10

10

-10

N0

11

11

-11

NN

12

12

-12

N88

18

18

-18

N82

19

2N

-19

N81

20

20

-20

N80

88

88

-88

N12

89

1NN

-89

N11

90

1N0

-90

N10

91

1N1

-91

N1N

92

1N2

-92

N08

97

1N7

-97

N03

98

1N8

-98

N02

99

10N

-99

N01

100

100

-100

N00

101

101

-101

N0N

102

102

-102

NN8

109

11N

-109

NN1

110

110

-110

NN0

111

111

-111

NNN

112

112

-112

N888

119

12N

-119

N881

188

188

-188

N812

189

2NN

-189

N811

190

2N0

-190

N810

191

2N1

-191

N809

192

2N2

-192

N808

198

2N8

-198

N802

199

20N

-199

N801

200

2N0

-200

N800

888

888

-888

N112

889

1NNN

-889

N111

900

1N00

-900

N100

 

 


 

 

Poslední dva průchody cyklem probíhají se všemi stejnými hodnotami, proces by tak běžel do nekonečna, pro i ≥ 3 dostaneme ai = 9. Na našem pětimístném displeji se tak zobrazí 99106, tedy číslo -894 zapsané v doplňkovém kódu. Do takovéhoto zacyklení se dostane algoritmus 1, který je konstruován  pro kladná celá čísla, když je aplikován na záporné číslo; místo zastavení produkuje nekonečnou posloupnost devítek. Když je vnějším zásahem zastaven (případně omezením počtu cyklů podle zadaného počtu míst displeje) , lze výstup interpretovat jako záporné číslo zapsané v doplňkovém kódu.

 

7. Dodatek 2: Náročnost kódu

Uvažujme situaci, že máme na displeji s n místy zobrazovat v soustavě o základu g kladná celá čísla menší nebo rovná předem zadanému číslu K. Je zřejmé, že délka displeje je klesající funkcí základu g, n musí být větší než logg K, a tedy stačí volit

            n =  [logg K] + 1                                                                                                  

Zvolme pro další úvahy určité konkrétní dostatečně velké K, pak n ≈ logg K.

Náročností kódu budeme rozumět součin  n.g (tedy počtu číslic v soustavě a délky displeje) a budeme hledat základ g, pro nějž je náročnost nejmenší. Pro jednoduchost položme n = logg K.  Máme tedy minimalizovat funkci

            A(g) = g. logg K = g.ln K / ln g = C. g / ln g,

na množině {2, 3, 4, …  }, kde C = ln K je kladná multiplikativní konstanta. Na funkci A se můžeme dívat jako na funkci reálné proměnné definovanou na (0, +∞), její derivace

            A'(g) = C (ln g – 1) / (ln g)2

je rovna 0 pro g = e, pro menší hodnoty argumentu je záporná, pro větší pak kladná, a tak A jako funkce reálné proměnné je klesající na (0; e⟩  a rostoucí na ⟨e, +∞); v e má minimum. Na oboru kladných celých čísel větších nebo rovno 2 můžeme minima nabývat v nejbližších celočíselných bodech, tedy v bodě 2 nebo 3; vypočítáme

            A(2) = C.2/ln 2 = 2,89 C

            A(3) = C.3/ln 3 = 2,73 C

Nejméně náročným, tj. nejúspornějším kódem je tedy trojková soustava (a  to jak klasická, tak symetrická). A tak můžeme číslu 3 jako základu poziční číselné soustavy do budoucna popřát více pozornosti v procesu matematického vzdělávání, a připojit podobné přání celé matematice ve vzdělávacím systému.

 

RNDr. Jiří Nečas

JorgeMalTiempo@seznam.cz

 



[1] Pro zápis nezáporného celého čísla v počítači bývá předem stanoven rozsah čísla, např pro unsigned short Int je to interval ⟨0; 65535⟩ =   ⟨0; 216-1⟩; každé číslo z tohoto intervalu se zapisuje pomocí 16členné posloupnosti dvojkových číslic; a zapisují  se tedy i počáteční nevýznamné nuly. Skutečnost, že první nenulová číslice binárního zápisu je ve dvojkové soustavě vždy 1, se využívá v zápise čísel v pohyblivé řádové čárce, jímž bychom se ovšem dostali za hranice množiny celých čísel.

[2] U beznulové desítkové soustavy se nesetkáváme s možností zápisu čísla s nevýznamnými nulami. Oproti vyjádření (1) ve vyjádření (12) posunujeme o 1 sčítací index.

 

[3] Pro počet číslic k(n) každého přirozenéno čísla n v beznulové desítkové soustavě platí

               k(n) = Int(log(9n+1));

Int značí celou část. Pro porovnání: počet číslic k'(n) nenulového přirozenéno čísla n v klasické desítkové soustavě je

               k'(n) = Int(log(10n))

[4] K interpretaci zápisu ještě doplníme, zda zápis 50 000 bude znamenat kladné číslo 50 000 či záporné číslo -50 000.