Exponenciální a logistický růst
Jiří Nečas
Mundus Symbolicus 19 (2011)
V tomto článku na dvou modelech růstu - exponenciálním a logistickém - ukážeme některé rozdíly mezi chováním spojitých a diskrétních systémů. Exponenciální model lze považovat za základní růstový model v neomezeném světě, logistický pak ve světě konečném, omezeném.
1. Exponenciální růst
1.1. Spojitý případ
Růstový zákon je vyjádřen diferenciální rovnicí
y' = k.y (k > 0) (A1)
Skutečnost, že se v rovnici (A1) nevyskytuje explicitně čas t, je důsledkem homogenity času. Přírůstek y' veličiny y je přímo úměrný její velikosti.
Obecné řešení rovnice (A1) je
y = C.ekt = C.exp (kt) = C.(exp k)t = C.bt, (A2)
přičemž
C = y(0). (A3)
Pro k = 1, y(0) = 1 dostáváme
y = et = exp t . (A4)
1.2.Diskrétní případ
Diskrétní proměnnou budeme označovat n, místo spojité funkce y(t) budeme studovat posloupnost yn.
Při diskretizaci považujeme za analogii derivace diferenci při vzrůstu celočíselného argumentu o 1, Dyn = yn+1 - yn. Je to zřejmě nejpřirozenější postup. Oproti derivaci zde zdůrazněme dva rozdíly:
a) derivace popisuje spojitou změnu. Věnujeme-li se rostoucím funkcím, bude se při růstu argumentu z hodnoty t na t+1 projevovat, že na intervalu (t, t+1) funkce stále roste, a tedy má hodnoty větší než v bodě t. Naproti tom růst yn posloupnosti je určen hodnotou v bodě n, a tedy bude pomalejší než růst funkce y(t).
b) Derivace v diferenciální rovnici se chová symetricky vůči změně argumentu vpřed i zpět. Diference popisuje změnu argumentu vpřed.
Diferenční rovnice, které vyjadřují diferenci Dyn = yn+1 - yn jako funkci hodnoty yn, budeme nazývat diferenčními rovnicemi 1. druhu.
Diferenciální rovnici (A1) tak odpovídá diferenční rovnice 1. druhu
Dyn = k.yn (k>0) (B1)
Často se pracuje s diferenčními rovnicemi, které jsou rekurentním vyjádřením posloupnosti; v případě diferečních rovnic 1. řádu tak jde o vyjádření (n+1)-ního členu yn+1 jako funkce n-tého členu yn ; v tomto případě budeme mluvit o diferenčních rovnicích 2. druhu. Z rovnice (B1) tak přejdeme k rovnici
yn+1 = (1+k).yn , (B2)
tedy
yn+1 = r.yn , (B3)
kde r = k + 1
Pravá strana rovnice (B1) při vyjádření prvního druhu a rovnice (B3) (popř. (B2)) při vyjádření druhého druhu má stejný tvar. Tato skutečnost je důsledkem toho, že jde o rovnice lineární (lineární je i diferenciální rovnice (A1))
Řešení je
yn = C.rn = C.(1+k)n , (B4)
přičemž
C = y0. (B5)
Pro k = 1 (tedy r = 2), y0 = 1 je
yn = 2n (B6)
V souladu s úvahou (a) v úvodu k odd. 1.2 je zde při stejné hodnotě konstanty v analogických rovnicích (A1), (B1) růst pomalejší; ve spojitém případě je vyjádřen exponenciálou se základem e, v diskrétním se základem 2.
2. Logistický růst
2.1. Spojitý případ
Růst probíhá "na úkor" systémového okolí U, tedy přírůstek y' je přímo úměrný jednak sledované veličině y, jednak velikosti U - y tohoto okolí, které se s růstem y zmenšuje; tento efekt se neprojeví, pokud y << U. Diferenciální rovnice logistického růstu má tedy tvar
y' = a.y(U - y) (a > 0) (C1)
Předpokládá se při tom, že počáteční hodnota y(0) leží v intervalu (0, U), který je oborem hodnot řešení, přičemž pro t < 0 je y(t)Î (0, y(0)), pro t > 0 pak je y(t)Î(y(0), U).
Logistický růst pro malé hodnoty argumentu, tedy při y << U, "splývá" s exponenciálním růstem; pokud však již y nelze vůči "mezi růstu" U zanedbat, dochází k zpomalování růstu, při t → ¥ se hodnota y zdola blíží limitní hodnotě U.
Rovnici (C1) můžeme vyjádřit ve tvaru
y' = (k/U).y.(U - y) = k.y.(1 - y/U), (C2)
kde je označení voleno tak, aby pro y << U rovnice logistického růstu korespondovala s rovnicí exponenciálního růstu.
Zdůrazněme, že rovnice logistického růstu již lineární není, což přinese určité komplikace při přechodu k diskrétnímu případu.
Separací proměnných získáme řešení (je jím tzv. logistická funkce):
y = U.C.exp(kt)/(1 + C.exp(kt)) = U.C.exp(aUt)/(1 + C.exp(aUt)), (C3)
které s použitím identity [1]
C.exp x / (1 + C.exp x) = (tgh ((x - ln C) / 2) + 1) / 2 (C4)
můžeme vyjádřit ve tvaru
y = U (tgh ((aUt - ln C) / 2) + 1) / 2. (C5)
Konstanta C je určena počáteční podmínkou takto:
C = y(0)/(U - y(0)) . (C6)
Změna měřítka - normalizace
Popis logistického růstu se zjednoduší, zavedeme-li normalizovanou proměnnou
z = y / U (C10)
Jednotlivé výše uvedené vztahy pak získají tvar
z' = a.U.z(1 - z), (C11)
z' = k.z(1 - z), (C12)
z = C.exp(kt)/(1 + C.exp(kt)) = C.exp(aUt)/(1 + C.exp(aUt)). (C13)
Pro proměnnou z platí z Î (0, 1).
2.2. Diskrétní případ
2.2.1 Kauzální varianta
Diskrétnímu logistickému růstu se budeme věnovat podrobněji. Pro jednoduchost vyjdeme od spojitého případu s normalizovanou proměnnou z. Diferenční rovnici prvního druhu získáme pomocí vyjádření (C12):
Dzn = k.zn(1 - zn). (D1)
Jí odpovídá vyjádření druhého druhu
zn+1 = zn(1 + k - k.zn) = k.zn.(1 + k-1 - zn). (D2)
V tabulce (na konci článku) jsou uvedeny hodnoty zn pro tři různé počáteční hodnoty z0 (z0 = 0,2, z0 = 0,5, z0 = 0,8) a pro vybrané hodnoty koeficientu k. Je z ní patrno, že pro k < 2 se hodnoty zn blíží limitní hodnotě 1, což je v souladu s normalizovaným spojitým případem.
Pro k ³ 2 se však setkáváme s tím, že hodnoty zn předpokládanou limitní hodnotu 1 překračují. Ve spojitém případě činitel (1 - z) (resp. (U - y)) kontinuálně zajišťuje brzdění růstu. V diskrétním případě při velkém koeficientu růstu poslední hodnota před překročením meze může být tak blízko k mezní hodnotě 1, že rozdíl nestačí k tomu, aby zabránila překročení meze v dalším kroku. Než přistoupíme k určitému "teleologickému" postupu promítnutí této skutečnosti do formulace diferenční rovnice korespondující s diferenciální rovnicí spojitého logistického růstu, zastavme se u poněkud jiné diferenční rovnice, která bývá v literatuře obvykle nazývána diferenční logistickou rovnicí.
Jde o diferenční rovnici druhého druhu[2], v níž je (n+1)-ní člen vyjádřen stejně, jako v rovnici (D1) je vyjádřena diference, tedy
zn+1 = r.zn(1 - zn), (E1)
kde
r 
(1,
4). Pro r (1, 3> má posloupnost zn
limitu (tedy jediný hromadný bod) 1 - r-1, pro
r (3,
1+61/2> (1+61/2 »
3,4995) má posloupnost hromadné body dva, kolem nichž se hodnoty pro velká n
střídavě pohybují, za koncovým bodem tohoto intervalu se hodnoty posloupnosti
pohybují periodicky kolem 4 hromadných bodů, dále pak trajektorie posloupnosti bifurkuuje
pro k » 3,5441 a osciluje kolem
8 hromadných bodů. Nechť n-tý bifurkační bod je an,
počet hromadných bodů se v něm mění z 2n-1 na
2n. Platí
lim ((an+1 - an)/(an+2 - an+1)) = δ,
kde
δ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 82…
je universální Feigenbaumova konstanta [Scott].
Posloupnost bifurkačních bodů má limitu:
a¥ = lim an » 3,569946
Pro r > a¥ je limitní chování posloupnosti chaotické.
2.2.2 Teleologická varianta
Zpomalovací faktor (1 - z) působí ve spojitém modelu bezprostředně, okamžitě, což zaručuje, že rostoucí veličina nepřekročí limitní hodnotu, která je v normalizovaném modelu rovna 1. V diskrétním případě (D1, D2) se nepřekročítelnost limitní hodnoty uplatňuje jen do určité maximální hodnoty parametru, vyjadřujícího rychlost růstu.
Rovnice (C12) je invariantní vůči obrácení času; musíme však v tomto případě zaměnit z a (1 - z). Spojitý případ tedy projevuje symetrii minulosti a budoucnosti. V diskrétním případě, k němuž jsme dospěli od spojitého standardním postupem, tomu tak není. Nejjednodušší způsob, jak takovou symetrii mezi minulostí a budoucností získat, je při diskretizaci rovnice (C12) vztáhnout hodnotu rostoucí veličiny z v "brzdicím" faktoru (1 - z) k časovému okamžiku po změně (kvůli závislosti změny na budoucím okamžiku mluvíme o teleologické variantě):
Dzn = zn+1 - zn = k.zn(1 - zn+1), (F1)
odkud
zn+1 = zn + k.zn.(1 - zn+1), (F2)
a tedy
zn+1 = (1 + k).zn/(1 + k.zn) (F3)
Snadno se dokáže, že z předpokladu 0 < zn < 1 plyne
zn < zn+1 < 1, (F4)
a (např. pomocí substituce zn = 1 - un)
lim zn = 1, (F5)
a
to pro libovolnou počáteční hodnou z0 
(0, 1) a libovolnou
kladnou konstantu k.
Teleologická diskretizace tak velice dobře odpovídá spojitému případu.
3. Porovnání diskrétních a spojitých případů
Spojitý a diskrétní růst probíhá obdobně, pokud není "příliš" rychlý. Od určité hraniční hodnoty parametru charakterizujícího rychlost růstu však jejich podobnost (v kauzální variantě) končí. Zatímco limitní chování spojitého systému se s růstem parametru nemění, hodnoty v diskrétním případě po dosažení určité hraniční hodnoty parametru přestávají směřovat k jednomu limitnímu bodu, nýbrž se periodicky pohybují mezi několika hromadnými body (jejich počet roste a je vždy mocninou čísla 2), až se limitní chování stane chaotickým.
Tato skutečnost ukazuje na riziko, s nímž je případná záměna spojitého a diskrétního systému spojena. V historii našeho poznání sehrála velkou roli analýza záření černého tělesa, kde se podařilo teoreticky vypočítanou "ultrafialovou katastrofu" odstranit předpokladem o kvantování energie, čímž se otevřely dveře kvantové fyzice. Předpoklad o kvantování energie znamená diskretizaci jejích možných hodnot. Na druhou stranu dnes se "digitalizuje", čili diskretizuje kde co. Nelze při tom zapomínat na to, že diskrétní systém se může chovat jinak než obdobný spojitý systém. Přitom ovšem chování spojitých systémů bývá jednodušší, spojitost znamená velice silnou informaci.
4. Dodatek
Diferenční rovnici (E1) odpovídá rovnice 1. druhu
Dzn = (r - 1) zn - r zn2 . (H1)
Ta je obdobou diferenciální rovnice
z' = r.z((1-r-1) - z), (H2)
jejíž řešení je
z = (1 - r-1).C.exp(rt)/(1 + C.exp(rt)), (H3)
které se velice podobá řešení (C13) logistické rovnice (C12); na rozdíl od něho se zde vyskytuje faktor 1-r-1, takže limitní hodnota pro t → ¥ je 1-r-1 . Přitom předpokládáme, že počáteční hodnota leží v intervalu (0, 1-r-1). Na r ve spojitém případě klademe jen podmínku r > 1.
Literatura
Scott, Alwyn C.: The Nonlinear Universe. Berlin, Heidelberg, Springer 2007
Stewart, Ian: Hraje Bůh kostky? Praha, Argo – Dokořán 2009
Tabulka
|
k |
0 |
0 |
0 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
1 |
1 |
1 |
1,5 |
1,5 |
1,5 |
1,75 |
1,75 |
1,75 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
|
1 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,28 |
0,625 |
0,88 |
0,36 |
0,75 |
0,96 |
0,44 |
0,875 |
1,04 |
0,48 |
0,938 |
1,08 |
|
2 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,381 |
0,742 |
0,933 |
0,59 |
0,938 |
0,998 |
0,81 |
1,039 |
0,978 |
0,917 |
1,04 |
0,929 |
|
3 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,499 |
0,838 |
0,964 |
0,832 |
0,996 |
1 |
1,041 |
0,978 |
1,01 |
1,05 |
0,967 |
1,045 |
|
4 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,624 |
0,906 |
0,981 |
0,972 |
1 |
1 |
0,977 |
1,01 |
0,995 |
0,958 |
1,023 |
0,963 |
|
5 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,741 |
0,948 |
0,991 |
0,999 |
1 |
1 |
1,011 |
0,995 |
1,003 |
1,028 |
0,982 |
1,025 |
|
6 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,837 |
0,973 |
0,995 |
1 |
1 |
1 |
0,994 |
1,003 |
0,999 |
0,977 |
1,013 |
0,98 |
|
7 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,905 |
0,986 |
0,998 |
1 |
1 |
1 |
1,003 |
0,999 |
1,001 |
1,016 |
0,99 |
1,014 |
|
8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,948 |
0,993 |
0,999 |
1 |
1 |
1 |
0,999 |
1,001 |
1 |
0,987 |
1,007 |
0,989 |
|
9 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,973 |
0,996 |
0,999 |
1 |
1 |
1 |
1,001 |
1 |
1 |
1,009 |
0,994 |
1,008 |
|
10 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,986 |
0,998 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,993 |
1,004 |
0,994 |
|
11 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,993 |
0,999 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1,005 |
0,997 |
1,005 |
|
12 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,996 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,996 |
1,002 |
0,997 |
|
13 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,998 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1,003 |
0,998 |
1,003 |
|
14 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,999 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,998 |
1,001 |
0,998 |
|
15 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1,002 |
0,999 |
1,001 |
|
16 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,999 |
1,001 |
0,999 |
|
17 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1,001 |
0,999 |
1,001 |
|
18 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,999 |
1 |
0,999 |
|
19 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1,001 |
1 |
1 |
|
20 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
21 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
22 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
23 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
24 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
25 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
26 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
27 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
28 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
2 |
2 |
2,45 |
2,45 |
2,45 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
2,6 |
2,6 |
2,6 |
2,8 |
2,8 |
2,8 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
|
1 |
0,52 |
1 |
1,12 |
0,592 |
1,113 |
1,192 |
0,6 |
1,125 |
1,2 |
0,616 |
1,15 |
1,216 |
0,648 |
1,2 |
1,08 |
|
2 |
1,019 |
1 |
0,851 |
1,184 |
0,806 |
0,631 |
1,2 |
0,773 |
0,6 |
1,231 |
0,702 |
0,533 |
1,287 |
0,528 |
0,929 |
|
3 |
0,98 |
1 |
1,105 |
0,651 |
1,189 |
1,202 |
0,6 |
1,212 |
1,2 |
0,492 |
1,246 |
1,18 |
0,254 |
1,226 |
1,045 |
|
4 |
1,019 |
1 |
0,874 |
1,208 |
0,638 |
0,608 |
1,2 |
0,571 |
0,6 |
1,141 |
0,449 |
0,627 |
0,784 |
0,451 |
0,963 |
|
5 |
0,98 |
1 |
1,094 |
0,593 |
1,204 |
1,192 |
0,6 |
1,183 |
1,2 |
0,722 |
1,093 |
1,235 |
1,258 |
1,144 |
1,025 |
|
6 |
1,019 |
1 |
0,888 |
1,185 |
0,603 |
0,631 |
1,2 |
0,641 |
0,6 |
1,244 |
0,83 |
0,48 |
0,349 |
0,683 |
0,98 |
|
7 |
0,98 |
1 |
1,087 |
0,649 |
1,189 |
1,202 |
0,6 |
1,216 |
1,2 |
0,455 |
1,197 |
1,129 |
0,986 |
1,289 |
1,014 |
|
8 |
1,019 |
1 |
0,898 |
1,207 |
0,638 |
0,608 |
1,2 |
0,559 |
0,6 |
1,1 |
0,584 |
0,75 |
1,025 |
0,245 |
0,989 |
|
9 |
0,98 |
1 |
1,081 |
0,595 |
1,204 |
1,192 |
0,6 |
1,175 |
1,2 |
0,814 |
1,215 |
1,237 |
0,953 |
0,763 |
1,008 |
|
10 |
1,019 |
1 |
0,905 |
1,185 |
0,603 |
0,631 |
1,2 |
0,661 |
0,6 |
1,207 |
0,535 |
0,473 |
1,079 |
1,269 |
0,994 |
|
11 |
0,98 |
1 |
1,077 |
0,647 |
1,189 |
1,202 |
0,6 |
1,221 |
1,2 |
0,556 |
1,182 |
1,122 |
0,841 |
0,312 |
1,005 |
|
12 |
1,019 |
1 |
0,912 |
1,207 |
0,637 |
0,608 |
1,2 |
0,546 |
0,6 |
1,198 |
0,624 |
0,767 |
1,215 |
0,914 |
0,997 |
|
13 |
0,98 |
1 |
1,073 |
0,596 |
1,204 |
1,192 |
0,6 |
1,166 |
1,2 |
0,581 |
1,234 |
1,232 |
0,482 |
1,134 |
1,003 |
|
14 |
1,019 |
1 |
0,917 |
1,186 |
0,603 |
0,631 |
1,2 |
0,683 |
0,6 |
1,214 |
0,483 |
0,49 |
1,182 |
0,708 |
0,998 |
|
15 |
0,98 |
1 |
1,069 |
0,646 |
1,19 |
1,202 |
0,6 |
1,224 |
1,2 |
0,539 |
1,133 |
1,139 |
0,581 |
1,287 |
1,001 |
|
16 |
1,019 |
1 |
0,921 |
1,206 |
0,637 |
0,608 |
1,2 |
0,538 |
0,6 |
1,185 |
0,742 |
0,726 |
1,263 |
0,253 |
0,999 |
|
17 |
0,98 |
1 |
1,067 |
0,597 |
1,204 |
1,192 |
0,6 |
1,159 |
1,2 |
0,616 |
1,24 |
1,243 |
0,334 |
0,783 |
1,001 |
|
18 |
1,019 |
1 |
0,925 |
1,186 |
0,603 |
0,631 |
1,2 |
0,698 |
0,6 |
1,231 |
0,467 |
0,457 |
0,957 |
1,259 |
0,999 |
|
19 |
0,981 |
1 |
1,064 |
0,645 |
1,19 |
1,201 |
0,6 |
1,225 |
1,2 |
0,492 |
1,114 |
1,103 |
1,072 |
0,347 |
1 |
|
20 |
1,019 |
1 |
0,928 |
1,206 |
0,637 |
0,608 |
1,2 |
0,536 |
0,6 |
1,142 |
0,783 |
0,809 |
0,855 |
0,982 |
1 |
|
21 |
0,981 |
1 |
1,062 |
0,597 |
1,203 |
1,192 |
0,6 |
1,158 |
1,2 |
0,721 |
1,225 |
1,211 |
1,202 |
1,031 |
1 |
|
22 |
1,019 |
1 |
0,931 |
1,187 |
0,604 |
0,631 |
1,2 |
0,701 |
0,6 |
1,244 |
0,509 |
0,547 |
0,523 |
0,942 |
1 |
|
23 |
0,981 |
1 |
1,06 |
0,644 |
1,19 |
1,201 |
0,6 |
1,225 |
1,2 |
0,455 |
1,159 |
1,191 |
1,221 |
1,096 |
1 |
|
24 |
1,019 |
1 |
0,933 |
1,206 |
0,637 |
0,608 |
1,2 |
0,536 |
0,6 |
1,1 |
0,68 |
0,599 |
0,465 |
0,802 |
1 |
|
25 |
0,981 |
1 |
1,058 |
0,598 |
1,203 |
1,192 |
0,6 |
1,158 |
1,2 |
0,815 |
1,246 |
1,224 |
1,161 |
1,246 |
1 |
|
26 |
1,019 |
1 |
0,935 |
1,187 |
0,604 |
0,631 |
1,2 |
0,701 |
0,6 |
1,207 |
0,45 |
0,512 |
0,637 |
0,386 |
1 |
|
27 |
0,981 |
1 |
1,056 |
0,643 |
1,19 |
1,201 |
0,6 |
1,225 |
1,2 |
0,557 |
1,093 |
1,161 |
1,284 |
1,05 |
1 |
|
28 |
1,018 |
1 |
0,937 |
1,205 |
0,636 |
0,608 |
1,2 |
0,536 |
0,6 |
1,199 |
0,828 |
0,674 |
0,262 |
0,903 |
1 |